авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Оценка и приближение сегментных функций полиномиальной полосой

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Сорина Евгения Владимировна

ОЦЕНКА И ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕГМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ

01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук

Саратов 2010

Работа выполнена на кафедре математической экономики механико-математического факультета Саратовского государственного университета
им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Дудов Сергей Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Лукашов Алексей Леонидович

кандидат физико-математических наук,
доцент Богомолов Алексей Сергеевич

Ведущая организация: Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится «22» апреля 2010 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан «_____» марта 2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета ДМ 212.243.15
кандидат физико-математических наук,
доцент В.В. Корнев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи по оценке и приближению сложных многозначных отображений многозначными отображениями простой структуры находят обширные приложения в естествознании, в том числе и в самой математике, и представляют один из разделов негладкого анализа.

Локальными аппроксимациями многозначных отображений занимались многие отечественные и зарубежные математики (Пшеничный Б.Н. ([27] – [28]), Демьянов В.Ф. ([15] – [18]), Рубинов А.М. ([30] – [31]), Половинкин Е.С. ([25] – [26]), Минченко Л.И. ([22]), Обен Ж.П. ([24]), Гороховик В.В. ([12]) и др.)

К задачам, имеющим нелокальный характер, относятся, в частности, внешнее и внутреннее эллипсоидальное оценивание многозначных отображений. Многие известные математики занимались эллипсоидальными оценками множеств достижимости динамических систем (см., например, Черноусько Ф.Л. ([33]), Куржанский А.Б. ([34])).

Относительно немного известно работ по равномерному приближению многозначных отображений на заданном множестве. Так в работе Никольского М.С. ([23]) рассматривается задача о равномерном приближении непрерывного многозначного отображения, заданного на отрезке, постоянным выпуклозначным отображением.

Простейшим примером многозначного отображения является сегментная функция. Диссертация посвящена исследованию некоторых задач по оценке и приближению сегментной функции таким объектом как полиномиальная полоса. Сформулируем эти задачи.

Будем считать, что сегментная функция задана на отрезке двумя непрерывными функциями и , причём при всех . Обозначим через полином фиксированной степени с вектором коэффициентов .



Задачу

(1)

будем называть задачей о внешней оценке сегментной функции полиномиальной полосой. Её геометрический смысл состоит в построении полиномиальной полосы наименьшей (по ординате) ширины, содержащей в себе график данной сегментной функции . Под полиномиальной полосой с осью, задаваемой полиномом , и шириной (по ординате) мы понимаем график сегментной функции .

Задача, отличающаяся от (1) перестановкой функций и ,

(2)

называется в диссертации задачей о псевдовнутренней оценке сегментной функции полиномиальной полосой. Если минимальное значение целевой функции меньше нуля, то её геометрический смысл заключается в построении полиномиальной полосы наибольшей ширины, которая содержится в графике сегментной функции .

Следующая рассматриваемая задача

(3)

называется задачей наилучшего равномерного хаусдорфова приближения сегментной функции полиномиальной полосой.

Последнюю задачу

, (4)

которая отличается от (3) тем, что минимизация осуществляется только по при фиксированном значении , будем называть задачей наилучшего равномерного приближения сегментной функции полиномиальной полосой фиксированной ширины .

Приведём сравнение с некоторыми известными задачами.

Нетрудно убедиться, что при для все задачи становятся эквивалентными задаче П.Л. Чебышёва о равномерном приближении непрерывной функции полиномом заданной степени

. (5)

Задача (1) даёт также повод для гипотезы: не является ли она эквивалентной задаче (5) для . Однако простые примеры говорят, что это не так.

В монографии Б. Сендова [32] рассматривалась задача о приближении графика сегментной функции графиком полинома в метрике Хаусдорфа двумерного пространства. Эта задача (в условиях специфики выбранной метрики Хаусдорфа ([32, c.37]), как следует из примера, приведённого самим автором ([32, c. 117 – 118]), не является задачей выпуклого программирования в отличие от задач (1) - (5).

Уместно также вспомнить задачу об ужах (см. [19, c. 34]), в которой требуется найти полиномы заданной степени (верхний и нижний ужи), которые раз своим графиком касаются поочерёдно графиков заданных непрерывных функций и на отрезке при условии, что на всём отрезке, и при этом графики полиномов содержатся в графике сегментной функции . В диссертации показано, что при определённых условиях решение задачи (1) (или задачи (2)) будет давать решение задачи об ужах, но для такого ужа обязательно имеет место “избыточный” альтернанс, в том смысле, что этот уж, по крайней мере, раза поочерёдно касается графиков некоторых функций и .

Наконец, отметим, что в дискретной постановке задача (1) рассматривалась И.Ю. Выгодчиковой ([13] – [14]), то есть когда в (1) отрезок заменяется конечным набором точек.

Более подробно и с примерами эти сравнения делаются по мере изложения текста диссертации.

Цель работы заключалась в

  • исследовании взаимосвязи задач (1) - (4),
  • получении необходимых и достаточных условий их решения,
  • получении достаточных условий единственности их решения.

Методика исследования.

Целевые функции всех экстремальных задач (1) - (4) являются выпуклыми конечными функциями. При исследовании в основном применялись методы выпуклого анализа, теории минимаксных задач, а также некоторые факты из теории полиномиальных приближений и многозначного анализа.

Научная новизна.

Результаты данной работы являются новыми и состоят в следующем:

  1. Доказано существование решений всех поставленных задач.
  2. Дано их сравнение с известными из теории полиномиального приближения задачами.
  3. Установлена параметрическая связь всех задач через задачу (4), где r использовалось в качестве параметра.
  4. Получены необходимые и достаточные условия решения задач в форме, сравнимой с чебышевским альтернансом.
  5. Получены достаточные условия единственности решения задач. Показано, что на вопрос о едиственности решения задач о внешней и псевдовнутренней оценке могут влиять дифференциальные свойства сегментной функции, даны примеры условий единственности решения через дифференциальные свойства сегментной функции.

Теоретическое значение и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании задач по оценке и равномерному приближению многозначных отображений. Они могут найти применение в теории приближений, теории минимаксных задач, при исследовании прикладных задач естествознания, в техническом анализе ценных бумаг, а также могут быть использованы в учебном процессе.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре по негладкому анализу и математической экономики кафедры математической экономики Саратовского государственного университета (руководитель – проф. Дудов С.И.) (2005-2010 г.); на научных конференциях сотрудников механико-математического факультета Саратовского государственного университета (2005-2009 г.); на 13-ой, 14-ой и 15-ой Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2006 г., 2008г., 2010г.); на 8-ой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2007 г.); на международной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва, 2008 г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 2009 г.); на объединенном научном семинаре механико-математического факультета и факультета КНИТ СГУ по дискретной математике и математической кибернетике (декабрь 2009г.).

Публикации.

Результаты исследований опубликованы в работах [1] – [11]. Работа [10] входит в список изданий, рекомендуемых ВАК РФ при защите кандидатских диссертаций.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, содержащих 12 параграфов, списка использованной литературы и приложения. Работа занимает 124 страницы.

Содержание работы

Во Введении даётся обоснование актуальности темы, приводятся постановки рассматриваемых задач, их сравнение с некоторыми известными задачами и кратко излагаются основные результаты.

В Главе 1 устанавливается взаимосвязь рассматриваемых задач.

В методическом плане проводимое здесь исследование опирается на работу С.И. Дудова [20], где выявлена взаимосвязь некоторых задач по оценке и приближению выпуклого компакта шаром некоторой нормы. Задачи (1) - (4) можно рассматривать как некоторые аналоги рассматриваемых в [20] задач.

В §§ 1-2 даются постановки задач (1) - (4), обсуждается их сравнение с известными задачами, вводятся обозначения для оптимальных значений целевых функций и множества решений:

, ,

, ,

, ,

.

Отметим, что из-за некоторых соображений, связанных с удобством изложения, существование решений задач (1) - (4), то есть непустота множеств , , и , а также их выпуклость и компактность, доказываются позже в § 6 главы 2.

Кроме того, в § 2 фиксируется важная связь целевых функций поставленных задач.

Теорема 2.1. При любых и справедливо равенство





.

Главные результаты главы получены в § 3. Здесь устанавливается параметрическая связь задачи (4) с задачами (1) и (2).

Для этого вводятся обозначения

, , , ,

, , , ,

,
.

Показывается (леммы 3.1 – 3.2), что справедливы соотношения

,

.

Конкретную связь решений задач (1) и (2) с решениями задачи (4) выражает

Теорема 3.1 1) Справедлива формула

2) Если , то и при этом
.

3) Если , то

, ,

то есть на интервале среди решений задачи (4) нет решений задач (1) и (2).

Также в § 3 доказано, что как многозначное отображение на отрезке непрерывно по Какутани и строго монотонно убывает по включению (теорема 3.2), а на отрезке оно также непрерывно по Какутани, но строго монотонно возрастает по включению (теорема 3.3).

В § 4 для функции показано (теорема 4.1), что она является выпуклой и конечной при , причём

Принимая обозначение

,

устанавливается связь задачи (3) с задачей (4).

Теорема 4.2. Для того, чтобы пара доставляла минимальное значение функции в задаче (3) необходимо и достаточно, чтобы и :

.

Эту связь можно выразить в виде

.

Устанавливаются также важные свойства решения задачи (4) на интервале .

Теорема 4.3. Если , то справедливы соотношения

, , ,
, .

В § 5 показывается, как заменив метрику, используемую Б. Сендовым в [32, c. 37], и наложив некоторые дополнительные условия, можно говорить об эквивалентности задачи о внешней оценке (1) и задачи, рассматриваемой в [32].

В Главе 2 дана характеризация решений рассматриваемых задач в форме, сравнимой с чебышевским альтернансом.

В § 6 показано, что решения всех задач (1) - (4) существуют и ограничены. Поэтому из выпуклости и конечности (а следовательно, и непрерывности (см. [17, c. 43])) целевых функций в целом получаем, что множества , , и являются выпуклыми компактами.

В § 7 средствами выпуклого анализа на основе полученных формул субдифференциалов функций и установлены критерии решения задач о внешней и псевдовнутренней оценках (1) – (2).

Введём обозначения

,
,
,
.

Критерий решения задачи (1) устанавливает

Теорема 7.1 Для того, чтобы функция принимала в точке минимальное на значение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

1) ,

2)существует упорядоченная последовательность точек из такая, что если , то , .

Формулировка критерия решения задачи (2) имеет аналогичный вид (теорема 7.2). В ней множества , , заменяются на множества , где

,
,
.

Также в § 7 устанавливается связь задачи (1) с задачей об ужах (следствия 7.1 – 7.2).

В § 8 даётся характеризация решения задачи (4). По теореме 3.1 при и её решения выражают соответственно решения задачи (1) и (2). Поэтому принципиально важным является случай , то есть когда задача (4) имеет самостоятельное от задач (1) и (2) значение. Этот случай отражён ниже в теореме 8.3, где

, .

Теорема 8.3. Пусть . Для того, чтобы функция принимала в точке минимальное на значение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) ,

2) существует упорядоченная последовательность точек

такая, что если , то , .

Получить в общем случае критерий решения задачи (3) в форме, близкой к чебышевскому альтернансу не удалось. В § 9 приводятся необходимые и отдельно достаточные условия решения задачи (3).

Обозначим через . Необходимые условия даёт

Теорема 9.3. Если пара доставляет минимальное значение в задаче (3), то

1) ,
2) выполняется хотя бы одно из условий:
a) ,

б) существует последовательность такая, что если , то , .

Введём дополнительные обозначения

, , .

Достаточные условия решения даёт



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:










 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.