авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Шумкова Дарья Борисовна

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ГРАНИЦАМИ И ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Пермь - 2006 г.

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении “Пермский государственный технический университет”.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Первадчук Владимир Павлович.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Шардаков Игорь Николаевич,

кандидат физ.-мат. наук, доцент Шкляева Евгения Викторовна.

Ведущая организация:

Государственное образовательное учреждение “Ижевский государственный технический университет”.

Защита состоится “__”____________ 2006 года в ___ часов на заседании диссертационного совета К 212.188.02 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г.Пермь, ул. проф. Поздеева, д.11, ауд. 309.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан “__”____________ 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

к. ф.-м.н., доцент В.А. Соколов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В последнее время проблемы оптимизации систем, состояния которых описываются дифференциальными уравнениями, приобрели большое значение с теоретической и практической точек зрения. Теория оптимизации в случае, когда математическая модель системы описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, с достаточной полнотой изложена в работах В.М. Алексеева, А.Д. Иоффе, В.М. Тихомирова, С.В. Фомина, Ф. Хартмана и др.

В настоящей работе рассматриваются системы, описываемые уравнениями в частных производных (системы с распределенными параметрами). Классические результаты теории оптимального управления (ОУ) распределенными системами содержатся в монографиях В. Барбу, А. Бенсуссана, А.Г.Бутковского, А.И. Егорова, Дж. Забкзика, В.И. Иваненко, В.С.Мельника, Ж.-Л. Лионса, А.В.Фурсикова, О.Ю.Эмануилова и др. Созданная теория оптимизации систем с распределенными параметрами находит свое применение к решению неклассических задач, описываемых уравнениями в частных производных. К неклассическим можно отнести задачи, для которых не доказано существование решения (сингулярные задачи), задачи, имеющие неединственное решение, задачи с неполными данными и др. Общий подход к доказательству разрешимости задач ОУ в случае, когда управляемая система описывается некорректной краевой задачей впервые предложен А.В.Фурсиковым. Широкий класс задач ОУ сингулярными распределенными системами изучен Ж.-Л. Лионсом. Теоремы существования решения задач ОУ системой уравнений Навье-Стокса с распределенным (а также начальным и граничным) управлением также получены А.В.Фурсиковым и В.Барбу. В случае неограниченной области теоремы существования для системы Навье-Стокса с распределенным управлением получены С.Сризараном. Однако неизученными остаются, например, постановки неклассических задач ОУ в областях, часть границы которых неизвестна и сами могут быть найдены в ходе решения задачи ОУ. При этом задача ОУ ставится как задача с граничным (стартовым, финальным, распределенным) управлением и граничным наблюдением. К таким вариационным постановкам приводит ряд задач гидродинамики, таких, как задачи о течении жидкости со свободными границами.



Цель работы. Получение новых условий разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построение обобщенного решения и получение условий разрешимости в задачах с жестким управлением. Применение предложенных методов к исследованию задач гидродинамики со свободными границами на основе реализации специального метода фиктивных областей, а также задач теплопроводности с подвижными источниками. Построение алгоритмов отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация ряда исследуемых задач.

Методы исследования. Используются методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории выпуклого и вариационного анализа, теории функционального анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, численных методов. Для получения условий разрешимости в случае жесткого управления разработан и применен специальный метод фиктивных областей.

Научная новизна. Выведены новые условия разрешимости в вариационных задачах определения формы области, получены соответствующие необходимые условия. Разработана и реализована новая методика определения неизвестной границы для краевых задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса, в вариационных постановках. Доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником, приведено соответствующее решение.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит как теоретический, так и практический характер. Разработанная методика может быть применена для изучения вопросов разрешимости и решения некоторых классов краевых вариационных задач. При этом значимым моментом является постановка задачи моделирования некоторого физического процесса как задачи оптимального управления системой с распределенными параметрами, теоретическое обоснование разрешимости и получение практических результатов. Предложенные в работе подходы могут применяться при решении конкретных задач, возникающих в математических моделях реальных процессов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры математического анализа Пермского государственного университета и научно-технических конференциях ПГТУ (1999-2002 гг.), на XII Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 1999 г.), на Международной молодежной научной школе-конференции “Лобачевские чтения - 2002” (Казань, 2002 г.), на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов “Молодежная наука Прикамья - 2002” (г. Пермь, 2002 г.), на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов “Молодежная наука Прикамья - 2004” (г.Пермь, 2004 г.), на Международной научной конференции ”Фундаментальные и прикладные вопросы механики”(г. Хабаровск, 2003 г.), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 111 страницах. Библиографический список содержит 75 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается описание методики исследования и краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена общим вопросам и принципам теории ОУ распределенными системами. В первом параграфе рассмотрены основные определения и утверждения, связанные с функциональными пространствами, дифференцируемостью и минимизацией функционалов, даны определения обобщенных решений распределенных систем, показана связь с классическими решениями, приведены соответствующие теоремы.

В параграфе 1.2 приведены сведения, связанные с разрешимостью абстрактной задачи ОУ

(1)

где - выпуклый, полунепрерывный и ограниченный снизу функционал, - линейный непрерывный оператор, задаваемый с помощью некоторой краевой задачи для уравнения с частными производными, - линейный непрерывный оператор, - линейные нормированные пространства, - рефлексивные банаховы пространства, непрерывно вложено в , - выпуклое замкнутое подмножество .

Теорема1. Пусть для любого множество ограничено в (функционал - коэрцитивный) и множество непусто. Тогда экстремальная задача (1) имеет решение , причем если функционал строго выпуклый, то решение единственно.

Теорема 2. (Критерий существования оптимального решения).

Пусть функционал выпуклый, полунепрерывный снизу и дифференцируемый по Гато с непрерывной производной . Тогда является оптимальным элементом тогда и только тогда, когда .

Задача ОУ (1) называется задачей с компромиссным управлением, если соответствующий целевой функционал явно зависит от функции управления и с жестким управлением в противном случае. Следующая теорема позволяет ввести в рассмотрение важный класс компромиссных функционалов специального вида.

Теорема 3. Пусть - непрерывная симметричная билинейная форма на , . Если обладает свойством коэрцитивности (), то существует единственный элемент , на котором функционал достигает своего инфимума.

Теоремы 1-3 применяются для исследования разрешимости краевых задач ОУ (1) с компромиссными функционалами. Рассмотрен ряд соответствующих постановок. Одна из них - задача ОУ с распределенным управлением и распределенным наблюдением, связанная с эволюционным уравнением параболического типа, описывающая, например, распределение температуры в области с тепловыми источниками :

(2)
(3)
(4)

Здесь - ограниченная область в с границей класса ,,, ,, , , , , коэффициенты , для любых , таких, что , выполнено условие эллиптичности , .

Показано, что функционал (4) удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно, существует решение задачи (2)-(4).

В случае жесткого управления ( в (4)) решалась задача об аппроксимативной управляемости системы, т.е доказывался тот факт, что , такое, что . Для этого вводился в рассмотрение возмущенный функционал , такой, что и отыскание сводилось к решению двойственной задачи, т.е. нахождению .

Теорема 4. Пусть - выпуклый функционал, и существует такое , что функционал и непрерывен при . Тогда и соответствующая двойственная задача имеет, по крайней мере, одно решение.

В третьем параграфе приводится описание основных методов решения поставленных задач ОУ. Показано, что при выполнении условий теоремы 2 решение задачи ОУ с компромиссной целевой функцией может быть сведено к решению оптимизационной системы, не зависящей явно от функции управления. Система оптимальности представляет собой набор уравнений и вариационных неравенств (равенств). В работе предлагается метод построения систем оптимальности. Для построения сопряженной краевой задачи используются формулы Грина.

Во второй главе получены центральные теоретические результаты работы: выведены условия разрешимости задач ОУ с неизвестными границами, связанных с уравнениями Навье-Стокса, получены соответствующие необходимые условия; построена система оптимальности для задачи ОУ распределенной системой с подвижными тепловыми источниками, описываемой уравнением параболического типа.

В §2.1 рассматривается краевая задача, описываемая системой уравнений Навье-Стокса, в которой часть границы заранее неизвестна, но на ней заданы некоторые условия (аналог данной задачи в гидродинамике - течение жидкости со свободной поверхностью):

, , (5) (6)
, , ,




где , . Предлагается осуществлять решение задачи отыскания неизвестной границы в некоторой канонической области, включающей в себя область . Пусть - ограниченная область с границей класса , - боковая поверхность цилиндра , - функция управления. Задача определения части границы формулируется как задача ОУ с граничным управлением и граничным наблюдением с жестким целевым функционалом, состоящая из уравнений (5),(6), начальных и граничных условий (7) и функционала (8):

, , , (7)
. (8)

Область , где - решение задачи Коши Отметим, что в уравнениями Навье-Стокса описываются физические процессы течения вязких жидкостей, а вариационная задача (5)-(8) описывает течение жидкости со свободной поверхностью. Известно, что условием, определяющим свободную поверхность, является =0.

Далее вводится определение обобщенного решения дифференциальной задачи (5)-(7).

Определение. Функция , характеристическая функция и положительная мера на , зависящая от t и обладающая ограниченной полной вариацией для почти всех , образуют обобщенное решение задачи (5)-(7), если для любых функций , принадлежащих таких, что , , , и для любого борелевского множества выполняются интегральные соотношения

, (9)
, (10)
для п.в. . (11)

Здесь , , - характеристическая функция множества . В работе показана связь классического решения с обобщенным. и - замыкания пространства финитных бесконечно дифференцируемых соленоидальных функций в нормах пространств и соответственно.

Сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема 5. Пусть , , тогда существует обобщенное решение задачи (5)-(7).

Доказательство теоремы проводилось по методу Галеркина. Для этого рассматривалось разложение ф-ии по базису пространства собственных функций спектральной задачи, соответствующей (5)-(7). Показывалась возможность осуществления предельного перехода в интегральных тождествах, для чего были использованы априорные оценки и показана компактность последовательностей в соответствующих функциональных пространствах.

Определение. Множеством допустимых четверок называется множество

(12)

решений задачи OУ (5)-(8).

В силу теоремы 5 множество допустимых четверок решений задачи (5)-(8) не пусто. Функционал (8) на множестве допустимых четверок (в предположении ) имеет вид

, (13)


Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:










 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.