Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками

На правах рукописи

Шумкова Дарья Борисовна

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ГРАНИЦАМИ И ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Пермь - 2006 г.

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении “Пермский государственный технический университет”.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Первадчук Владимир Павлович.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Шардаков Игорь Николаевич,

кандидат физ.-мат. наук, доцент Шкляева Евгения Викторовна.

Ведущая организация:

Государственное образовательное учреждение “Ижевский государственный технический университет”.

Защита состоится “__”____________ 2006 года в ___ часов на заседании диссертационного совета К 212.188.02 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г.Пермь, ул. проф. Поздеева, д.11, ауд. 309.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан “__”____________ 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

к. ф.-м.н., доцент В.А. Соколов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В последнее время проблемы оптимизации систем, состояния которых описываются дифференциальными уравнениями, приобрели большое значение с теоретической и практической точек зрения. Теория оптимизации в случае, когда математическая модель системы описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, с достаточной полнотой изложена в работах В.М. Алексеева, А.Д. Иоффе, В.М. Тихомирова, С.В. Фомина, Ф. Хартмана и др.

В настоящей работе рассматриваются системы, описываемые уравнениями в частных производных (системы с распределенными параметрами). Классические результаты теории оптимального управления (ОУ) распределенными системами содержатся в монографиях В. Барбу, А. Бенсуссана, А.Г.Бутковского, А.И. Егорова, Дж. Забкзика, В.И. Иваненко, В.С.Мельника, Ж.-Л. Лионса, А.В.Фурсикова, О.Ю.Эмануилова и др. Созданная теория оптимизации систем с распределенными параметрами находит свое применение к решению неклассических задач, описываемых уравнениями в частных производных. К неклассическим можно отнести задачи, для которых не доказано существование решения (сингулярные задачи), задачи, имеющие неединственное решение, задачи с неполными данными и др. Общий подход к доказательству разрешимости задач ОУ в случае, когда управляемая система описывается некорректной краевой задачей впервые предложен А.В.Фурсиковым. Широкий класс задач ОУ сингулярными распределенными системами изучен Ж.-Л. Лионсом. Теоремы существования решения задач ОУ системой уравнений Навье-Стокса с распределенным (а также начальным и граничным) управлением также получены А.В.Фурсиковым и В.Барбу. В случае неограниченной области теоремы существования для системы Навье-Стокса с распределенным управлением получены С.Сризараном. Однако неизученными остаются, например, постановки неклассических задач ОУ в областях, часть границы которых неизвестна и сами могут быть найдены в ходе решения задачи ОУ. При этом задача ОУ ставится как задача с граничным (стартовым, финальным, распределенным) управлением и граничным наблюдением. К таким вариационным постановкам приводит ряд задач гидродинамики, таких, как задачи о течении жидкости со свободными границами.

Цель работы. Получение новых условий разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построение обобщенного решения и получение условий разрешимости в задачах с жестким управлением. Применение предложенных методов к исследованию задач гидродинамики со свободными границами на основе реализации специального метода фиктивных областей, а также задач теплопроводности с подвижными источниками. Построение алгоритмов отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация ряда исследуемых задач.

Методы исследования. Используются методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории выпуклого и вариационного анализа, теории функционального анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, численных методов. Для получения условий разрешимости в случае жесткого управления разработан и применен специальный метод фиктивных областей.

Научная новизна. Выведены новые условия разрешимости в вариационных задачах определения формы области, получены соответствующие необходимые условия. Разработана и реализована новая методика определения неизвестной границы для краевых задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса, в вариационных постановках. Доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником, приведено соответствующее решение.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит как теоретический, так и практический характер. Разработанная методика может быть применена для изучения вопросов разрешимости и решения некоторых классов краевых вариационных задач. При этом значимым моментом является постановка задачи моделирования некоторого физического процесса как задачи оптимального управления системой с распределенными параметрами, теоретическое обоснование разрешимости и получение практических результатов. Предложенные в работе подходы могут применяться при решении конкретных задач, возникающих в математических моделях реальных процессов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры математического анализа Пермского государственного университета и научно-технических конференциях ПГТУ (1999-2002 гг.), на XII Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 1999 г.), на Международной молодежной научной школе-конференции “Лобачевские чтения - 2002” (Казань, 2002 г.), на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов “Молодежная наука Прикамья - 2002” (г. Пермь, 2002 г.), на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов “Молодежная наука Прикамья - 2004” (г.Пермь, 2004 г.), на Международной научной конференции ”Фундаментальные и прикладные вопросы механики”(г. Хабаровск, 2003 г.), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 111 страницах. Библиографический список содержит 75 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается описание методики исследования и краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена общим вопросам и принципам теории ОУ распределенными системами. В первом параграфе рассмотрены основные определения и утверждения, связанные с функциональными пространствами, дифференцируемостью и минимизацией функционалов, даны определения обобщенных решений распределенных систем, показана связь с классическими решениями, приведены соответствующие теоремы.

В параграфе 1.2 приведены сведения, связанные с разрешимостью абстрактной задачи ОУ

(1)

где - выпуклый, полунепрерывный и ограниченный снизу функционал, - линейный непрерывный оператор, задаваемый с помощью некоторой краевой задачи для уравнения с частными производными, - линейный непрерывный оператор, - линейные нормированные пространства, - рефлексивные банаховы пространства, непрерывно вложено в , - выпуклое замкнутое подмножество .

Теорема1. Пусть для любого множество ограничено в (функционал - коэрцитивный) и множество непусто. Тогда экстремальная задача (1) имеет решение , причем если функционал строго выпуклый, то решение единственно.

Теорема 2. (Критерий существования оптимального решения).

Пусть функционал выпуклый, полунепрерывный снизу и дифференцируемый по Гато с непрерывной производной . Тогда является оптимальным элементом тогда и только тогда, когда .

Задача ОУ (1) называется задачей с компромиссным управлением, если соответствующий целевой функционал явно зависит от функции управления и с жестким управлением в противном случае. Следующая теорема позволяет ввести в рассмотрение важный класс компромиссных функционалов специального вида.

Теорема 3. Пусть - непрерывная симметричная билинейная форма на , . Если обладает свойством коэрцитивности (), то существует единственный элемент , на котором функционал достигает своего инфимума.

Теоремы 1-3 применяются для исследования разрешимости краевых задач ОУ (1) с компромиссными функционалами. Рассмотрен ряд соответствующих постановок. Одна из них - задача ОУ с распределенным управлением и распределенным наблюдением, связанная с эволюционным уравнением параболического типа, описывающая, например, распределение температуры в области с тепловыми источниками :

	(2)
	(3)
	(4)

Здесь - ограниченная область в с границей класса ,,, ,, , , , , коэффициенты , для любых , таких, что , выполнено условие эллиптичности , .

Показано, что функционал (4) удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно, существует решение задачи (2)-(4).

В случае жесткого управления ( в (4)) решалась задача об аппроксимативной управляемости системы, т.е доказывался тот факт, что , такое, что . Для этого вводился в рассмотрение возмущенный функционал , такой, что и отыскание сводилось к решению двойственной задачи, т.е. нахождению .

Теорема 4. Пусть - выпуклый функционал, и существует такое , что функционал и непрерывен при . Тогда и соответствующая двойственная задача имеет, по крайней мере, одно решение.

В третьем параграфе приводится описание основных методов решения поставленных задач ОУ. Показано, что при выполнении условий теоремы 2 решение задачи ОУ с компромиссной целевой функцией может быть сведено к решению оптимизационной системы, не зависящей явно от функции управления. Система оптимальности представляет собой набор уравнений и вариационных неравенств (равенств). В работе предлагается метод построения систем оптимальности. Для построения сопряженной краевой задачи используются формулы Грина.

Во второй главе получены центральные теоретические результаты работы: выведены условия разрешимости задач ОУ с неизвестными границами, связанных с уравнениями Навье-Стокса, получены соответствующие необходимые условия; построена система оптимальности для задачи ОУ распределенной системой с подвижными тепловыми источниками, описываемой уравнением параболического типа.

В §2.1 рассматривается краевая задача, описываемая системой уравнений Навье-Стокса, в которой часть границы заранее неизвестна, но на ней заданы некоторые условия (аналог данной задачи в гидродинамике - течение жидкости со свободной поверхностью):

, ,	(5) (6)
, , ,

где , . Предлагается осуществлять решение задачи отыскания неизвестной границы в некоторой канонической области, включающей в себя область . Пусть - ограниченная область с границей класса , - боковая поверхность цилиндра , - функция управления. Задача определения части границы формулируется как задача ОУ с граничным управлением и граничным наблюдением с жестким целевым функционалом, состоящая из уравнений (5),(6), начальных и граничных условий (7) и функционала (8):

, , ,	(7)
.	(8)

Область , где - решение задачи Коши Отметим, что в уравнениями Навье-Стокса описываются физические процессы течения вязких жидкостей, а вариационная задача (5)-(8) описывает течение жидкости со свободной поверхностью. Известно, что условием, определяющим свободную поверхность, является =0.

Далее вводится определение обобщенного решения дифференциальной задачи (5)-(7).

Определение. Функция , характеристическая функция и положительная мера на , зависящая от t и обладающая ограниченной полной вариацией для почти всех , образуют обобщенное решение задачи (5)-(7), если для любых функций , принадлежащих таких, что , , , и для любого борелевского множества выполняются интегральные соотношения

,	(9)
,	(10)
для п.в. .	(11)

Здесь , , - характеристическая функция множества . В работе показана связь классического решения с обобщенным. и - замыкания пространства финитных бесконечно дифференцируемых соленоидальных функций в нормах пространств и соответственно.

Сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема 5. Пусть , , тогда существует обобщенное решение задачи (5)-(7).

Доказательство теоремы проводилось по методу Галеркина. Для этого рассматривалось разложение ф-ии по базису пространства собственных функций спектральной задачи, соответствующей (5)-(7). Показывалась возможность осуществления предельного перехода в интегральных тождествах, для чего были использованы априорные оценки и показана компактность последовательностей в соответствующих функциональных пространствах.

Определение. Множеством допустимых четверок называется множество

(12)

решений задачи OУ (5)-(8).

В силу теоремы 5 множество допустимых четверок решений задачи (5)-(8) не пусто. Функционал (8) на множестве допустимых четверок (в предположении ) имеет вид

,

(13)