авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств

-- [ Страница 1 ] --

УДК 517+518.392 На правах рукописи

Булгатова Елена Николаевна

Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств

01.01.07 – вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата

физико-математических наук

Красноярск – 2009

Работа выполнена в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете (г. Улан-Удэ).

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор
Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор Носков Михаил Валерианович
Кандидат физико-математических наук Шатохина Лариса Владимировна
Ведущая организация: Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН

Защита состоится 30 июня 2009 года в 15 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.18 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660074 Красноярск, ул. Киренского, 26 корпус Ж, ауд. 1-15.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Сибирского федерального университета, ул. Киренского, 26.

Автореферат разослан «__» мая 2009г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

к.ф.-м.н. Кириллов К.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Задача о построении формул для приближенного вычисления интегралов является одной из классических задач вычислительной математики. В настоящее время можно выделить несколько научных направлений в теории приближенного интегрирования: построение формул высокой степени точности, применение вероятностно-статистических методов к вычислению интегралов, теоретико-числовые методы построения формул и функциональный подход, связанный с исследованием оценок норм функционала погрешности для различных линейных нормированных пространств.

Широкое применение методов функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в исследованиях по теории приближенного интегрирования началось работами С.М. Никольского [6] и С.Л. Соболева [14]. В дальнейшем эти методы были развиты в работах В. И. Половинкина, М.Д. Рамазанова, Ц.Б. Шойнжурова, В.Л. Васкевича и других авторов. В настоящей работе, в отличие от работ В.И. Половинкина и Ц.Б. Шойнжурова, рассматриваются весовые формулы в пространствах , как предельного случая ранее исследованных пространств. Кроме того, М.Д. Рамазановым проводились исследования кубатурных формул для областей с гладкими границами. В данной диссертации, опираясь на методику Рамазанова, получены формулы с пограничным слоем, в которых коэффициенты вычисляются значительно проще, что облегчает программную реализацию построения и использования формул.



При построении формулы для приближенного вычисления интеграла, погрешность этой формулы рассматривают, как некоторый функционал, действующий на подынтегральную функцию, и называют функционалом погрешности. При этом, если построена формула и требуется найти её погрешность, то достаточно найти или оценить норму функционала погрешности рассматриваемой формулы.

Цель работы. Построение и исследование асимптотической оптимальности кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами в пространстве Соболева и исследование весовых кубатурных формул в пространстве Соболева .

Основные задачи исследования:

– построение и исследование кубатурных формул для областей с гладкими и кусочно-гладкими границами;

– построение и исследование эрмитовых кубатурных формул для области с кусочно-гладкой границей;

– получение асимптотически оптимального функционала погрешности исследованных кубатурных формул и явного вида коэффициентов этого функционала погрешности;

– исследование весовых кубатурных формул с пограничным слоем.

Объект исследования. Весовые кубатурные формулы приближенного вычисления многомерных интегралов и кубатурные формулы, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования при этом ограничена кусочно-гладкой границей [14].

Методика исследований. В работе применяются методы теории функций одного и многих действительных переменных, математического и функционального анализа, алгебры, а также численные методы.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации обеспечена полными доказательствами всех утверждений, полученных в данной работе и численными расчетами.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. Все основные результаты диссертации являются новыми. На защиту выносятся:

  1. Построение и исследование кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами на плоскости, с коэффициентами, зависящими от уравнения границы только в пограничном слое;
  2. Доказательство асимптотической оптимальности эрмитовых кубатурных формул, содержащих значения функции и значения первой производной, в пространстве Соболева ;
  3. Оценка нормы в пространстве функционала погрешности весовой кубатурной формулы с пограничным слоем.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях кубатурных формул. Полученные формулы могут использоваться при вычислении интегралов.

Личный вклад автора. Все результаты, включенные в диссертацию принадлежат лично диссертанту. В совместных работах вклад соавторов равнозначен.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях: VIII международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (г. Улан-Удэ, 2005); II Всероссийской конференции с международным участием «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (г. Улан-Удэ, 2006); IX международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (г.Уфа, 2007); III всероссийской конференции с международным участием «Математика, её приложения и математическое образование» (г. Улан-Удэ, 2008); XIII Байкальской Всероссийской конференции с международным участием «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (г. Иркутск, 2008); Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений.» (г. Новосибирск, 2008); III Всероссийской конференции «Винеровские чтения 2009» (г. Иркутск, 2009); на ежегодных научно-практических конференциях Восточно-Сибирского государственного технологического университета (2004-2008 гг.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 работах, список которых помещен в конце автореферата. В частности, работа [5] опубликована в журнале Вычислительные технологии, 2006, т.11, №4.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы. В тексте диссертации имеется 13 рисунков и 2 таблицы. Список литературы включает 80 наименований. Объём работы – 109 машинописных страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся основные определения и постановка задачи, дается общее описание основных результатов по теории кубатурных формул в функционально-аналитическом направлении, а также краткое изложение результатов диссертационной работы.

В первой главе диссертации построены кубатурные формулы для эллипса и области с кусочно-гладкой границей, исследованы эрмитовы кубатурные формулы и доказана асимптотическая оптимальность этих формул, содержащих первую производную. Рассматриваются кубатурные формулы для интегрирования функций из пространств с нормой

. (1)

В параграфе 1.1 исследованы кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы области только в пограничном слое. Построение и исследование подобных формул проводились М.Д. Рамазановым [12]. Также, Н.И. Блиновым [2], [3], Л.В. Войтишек [3], И. Умархановым [15], Д.Я. Рахматуллиным [13] созданы программы для вычисления многомерных интегралов. В данной работе упрощены вычисления коэффициентов.

Пусть - кратный интеграл, .

Ограниченная область с кусочно-гладкой границей на плоскости разбивается на частей с помощью разложения единицы , где , . Пусть часть границы может быть записана уравнением . В области производится замена переменных . Для определения срезывающих функций используется функция

Рассмотрим одну из областей например , в переменных x, для простоты, в двумерном случае.

После замены переменных область перейдет в область . Замена преобразует границу области в кусок оси , криволинейный параллелограмм соответствует кубу , где , , функция перейдет в .

В переменных y рассмотрим следующий функционал

(2)

Сначала построим функционал с узлами на криволинейной решетке. Для этого функцию в формуле (2) аппроксимируем линейной комбинацией функций , где - дробная часть числа :

. (3)

Коэффициенты функционала (3) определяются из системы уравнений

.

Элементарный функционал для куба принимает вид

(4)

Узлы кубатурной формулы, соответствующей функционалу (4), лежат в узлах криволинейной решетки.

С помощью функционала (4) построим кубатурную формулу на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы в пограничном слое.

Выполнив обратную замену переменных и в (4), получим

, (5) где - целая часть числа, --47, (5)

где - целая часть числа , - характеристическая функция области .

Далее характеристическую функцию некоторой области будем обозначать таким же символом, например, - характеристическая функция области .

Учитывая срезывающую функцию ,элементарные функционалы суммируем по всем и при этом по свойству функционала коэффициенты при суммировании равны единице





Аналогично суммируем по последние две суммы в (5)

После преобразования коэффициенты определяются следующей формулой

где коэффициенты и определяются из систем

и .

Вспомогательный функционал погрешности для области в переменных y имеет вид

где .

Учитывая , в переменных x, получаем функционал погрешности формулы с пограничным слоем для области с узлами на решетке

Аналогично получаются функционалы для остальных областей

,

где .

Окончательно получена формула с коэффициентами пограничного слоя, зависящими от уравнения границы:

.

По схеме, предложенной в параграфе 1.1, построена кубатурная формула для эллипса .

Кубатурные формулы для областей с кусочно-гладкой границей рассматриваются в параграфе 1.3. Пусть граница области состоит из одной или нескольких непересекающихся кусочно-гладких кривых.

Если точка границы , не является угловой, то можно в окрестности этой точки провести замену переменных , где уравнение границы так, что и обратные взаимно однозначные функции.

Пусть угловая точка. Не нарушая общности, можно принять и предположить, что смыкающиеся в этой точке касательные, расположены так, что одна из них совпадает с положительной частью оси , а другая идет к ней под углом. В этом случае эти дуги выражаются соответственно уравнениями и , причем . Применяем замену переменных

и . (6)

В окрестности точки якобиан преобразования отличен от нуля. Следовательно, система (6) однозначно допускает обращение и . Далее применяем обычную замену для гладкой области.

Для формул, построенных в параграфах 1.2 и 1.3, составлена программа вычисления двойного интеграла по соответствующим областям.

В параграфе 1.4 получена кубатурная формула для области с кусочно-гладкой границей, содержащая как значения функции, так и значения её производных в узлах решетки.

Пусть выпуклая область имеет гладкую границу в -мерном пространстве. Разделим пространство на частей , гиперплоскостями параллельными координатным плоскостям и ,

– разложение единицы в -мерном пространстве, где - финитные функции, , , и граница области выражается уравнением .

Замена и преобразует область в область , в , границу области в кусок гиперплоскости и криволинейный параллелограмм в куб .

Построим элементарный функционал погрешности в переменных

, (7)

где коэффициенты функционала (7) определяются из систем

В формуле (7) функцию аппроксимируем функциями и их производными в узлах сдвинутых на - дробную часть числа где уравнение границы :

, (8)

где коэффициенты вычисляются из систем где – производная порядка от степени и вычислена при .

Функционал для области определим путем суммирования элементарных функционалов

. (9)

Умножим функционал на финитную функцию области :

. (10)

Подставим (8) в (10)

, (11)

где , .

В формуле (11) узлы сдвинуты на дробную часть числа.

Выполнив ряд преобразований над второй суммой формулы (11), получим

(12)

где . (13)

Используя произведение функции на финитную функцию , преобразуем формулу (11)

,

где и .

На основании формулы (12) имеем

, (14)

где определяются формулой (13).

В формуле (14) перейдем к старым переменным

,



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:










 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.