авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 | 3 |

Идентификация полости в ортотропной упругой полосе

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Беляк Ольга Александровна

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОЛОСТИ В ОРТОТРОПНОЙ

УПРУГОЙ ПОЛОСЕ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону – 2008

Работа выполнена в Южном федеральном университете на кафедре теории упругости

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Соловьев Аркадий Николаевич

кандидат физико-математических наук,

доцент Зеленцов Владимир Борисович

Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится « 28 » октября 2008 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « 25 » сентября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета. Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Многие актуальные проблемы техники, такие как исследование сейсмостойкости сооружений, разведка полезных ископаемых, проектирование и эксплуатация конструкций в условиях динамического нагружения, совершенствование моделей неразрушающего контроля, требуют решения динамических задач теории упругости для слоистых структур с дефектами различной структуры (включения, поры, полости, микротрещины), своевременная диагностика которых позволяет выявлять опасные с точки зрения механики разрушения дефекты. Поскольку большинство современных конструкционных материалов и грунтов являются анизотропными (ортотропными), то моделирование волновых процессов в слоистых средах с дефектами в рамках модели ортотропного упругого тела весьма актуально.

Многие аспекты волновых процессов могут быть изучены на основе исследования математических моделей, которые базируются на решениях краевых задач о колебаниях анизотропного слоя с дефектами различной природы: полости, включения, а также задач об определении конфигурации дефекта и его месторасположения по информации о полях перемещений на поверхности слоя.

С точки зрения причинно-следственной связи задачи о колебаниях упругих тел с полостями принято разделять на два класса. Первый – класс прямых задач, целью которых является определение волнового поля в упругом теле с известной геометрией полости на основе заданных граничных условий. Второй класс – это обратные задачи (ОЗ), в которых требуется по известным полям смещений, заданным на части границы области, определить местоположение и конфигурацию полости. В последнее время методы решения ОЗ, которые являются нелинейными и некорректными, активно развиваются, что связано с моделированием различных динамических процессов на основе моделей теории упругости (дефектоскопия, геофизика, сейсморазведка).



Одним из наиболее эффективных методов решения стационарных задач о колебаниях тел с полостями, особенно неканонической формы, является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), позволяющий снизить размерность исследуемых задач на единицу. К настоящему моменту решения задач о колебаниях упругих тел, ослабленных дефектами, изучены достаточно подробно и в основном опираются на метод сведения исходной краевой задачи к системе ГИУ и на исследование его дискретного аналога – конечномерной алгебраической системы, построенной на основе метода граничных элементов (МГЭ). Однако обратные задачи о реконструкции параметров полости по некоторой информации о полях перемещений на части границы упругого тела исследованы недостаточно.

Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы.

Цель работы состоит в разработке эффективных численно-аналитических методов исследования прямых и обратных задач динамической теории упругости для ортотропного упругого слоя с полостью произвольной конфигурации,

Методика исследования прямых задач базируется на сведении исходных краевых задач к системам ГИУ на основе обобщенной теоремы взаимности и построении функции Грина для слоя, численный анализ которых осуществлен при помощи идей МГЭ. Обратная задача идентификации полости сведена к решению системы нелинейных операторных уравнений, содержащей как сингулярные, так и вполне непрерывные операторы I-го рода. Дальнейшее исследование полученной системы произведено на основе двух подходов. Один из них состоит в построении итерационного процесса на основе метода линеаризации исходных нелинейных уравнений системы в окрестности некоторого начального положения полости. Второй подход основан на методе регуляризации на (компактных) конечномерных множествах. Такой подход может быть реализован при наличии некоторой априорной информации, например, что контур полости описывается алгебраической кривой -го порядка. Таким образом, решение обратной задачи сводилось к нахождению коэффициентов алгебраического или тригонометрического многочлена -го порядка. Поиск таких параметров осуществлялся из условия минимума неквадратичного функционала невязки в конечномерном евклидовом пространстве.

В работе помимо реализаций, основанных на идеях ГИУ, предложен также асимптотический подход к исследованию прямой и обратной задач о колебаниях ортотропного слоя с цилиндрической полостью, поперечное сечение которой – окружность малого размера по сравнению с толщиной слоя. Определена область применимости асимптотического подхода и приближения Борна.

Достоверность результатов, полученных в работе, основана на строгом аппарате математической теории упругости, на корректном сведении краевых задач для слоя с цилиндрической полостью произвольного поперечного сечения к системам ГИУ, на их численном и асимптотическом анализе. Полученные результаты в настоящей диссертационной работе подвергались проверке путем сравнения с результатами, полученными иными способами. Проведено сравнение полученного асимптотического решения с решением прямой задачи на основании метода граничного элемента для различных вариантов дискретизации систем ГИУ, позволившее установить границы применимости ГЭ аппроксимации, асимптотических теорий при решении как прямых, так и обратных задач.

Научная новизна результатов работы

Развиты численные методы решения прямых и обратных задач о колебаниях ортотропного слоя с полостью произвольной формы на основе МГЭ, впервые получены формулы расчета полей смещений при установившихся колебаниях ортотропного упругого слоя с цилиндрической полостью кругового поперечного сечения на основе асимптотического подхода, осуществлена оценка их применимости и приближения Борна.

Практическая ценность результатов настоящего исследования состоит в развитии метода ГИУ, методов идентификации полостей малых характерных размеров, исследовании области применимости различных прикладных теорий, выявлении зависимости восстановления геометрии контура от частоты зондирования и расположения точек зондирования на поверхности слоя.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Х, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов–на–Дону, 2006 г., 2007 г.), на IV, V международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г. Донецк 2006 г., 2008 г.), на III и IV школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, г. Краснодар 2004, 2007 гг.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ (РГУ)

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе две статьи [2], [4] в журналах: «Экологический вестник научных центров черноморского сотрудничества (ЧЭС)», «Дефектоскопия» (2006 г.), которые входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованный ВАК РФ.

Структура содержание и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 155 наименований, приложения, включающего 21 рисунок и 9 таблиц общим объемом 140 страниц машинописного текста.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта: 05–01–00734), гранта Президента РФ для поддержки молодых ученых и ведущих научных школ НШ–2113.2003.1.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по исследованию динамических задач теории упругости для областей с дефектами и основные методы исследования прямых и обратных задач для областей с дефектами.

Задачи динамической теории упругости о колебаниях тел с дефектами изучались в работах В.А. Бабешко, В.Г. Баженова, Н.В. Боева, А.О. Ватульяна, И.И. Воровича, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, В.Т. Гринченко, А.Н. Гузя, Л. А. Игумнова, В.Д. Кубенко, А.А. Ляпина, В.В. Мелешко, О.Д. Пряхиной, М.Г. Селезнева, Л.И. Слепяна, А.Н. Соловьева, М.А. Сумбатяна, А. Г. Угодчикова, Н. М. Хуторянского, Ю.А. Устинова, М.А. Черевко, D. Kolton, R. Kress, J.D. Achenbach, М. Bonnet, Y. Ikehata, Y. Niwa, K.F. Graff, S. Kobayashi, T.V. Rangelov, G.D. Manolis и других отечественных и зарубежных авторов. В отмеченных исследованиях используются методы сведения динамических задач к граничным интегральным уравнениям, методы сведения к бесконечным системам линейных уравнений, метод многократных отражений, метод суперпозиции. Кроме отмеченных подходов, для решения исследуемых задач применялись методы интегральных преобразований и метод, основанный на применении обобщенной теоремы взаимности. Обоснована актуальность настоящего диссертационного исследования, сформулированы основные цели работы.

В первой главе рассматриваются постановки прямых задач об установившихся колебаниях ортотропного упругого слоя с цилиндрической полостью, направляющая которой есть гладкая замкнутая кривая. В первом параграфе изложена общая постановка о колебаниях ортотропного слоя с полостью произвольной конфигурации. В параграфе 2 изложены постановки прямых задач для антиплоских (задача 1) и плоских (задача 2) колебаний ортотропного слоя с полостью.

Рассмотрены установившиеся колебания с частотой ортотропного упругого слоя толщины с цилиндрической полостью произвольной конфигурации, не выходящей на границы слоя. Нижняя грань слоя жестко защемлена и совпадает с осью , ось направлена перпендикулярно вверх. Колебания в слое вызваны распределенной или сосредоточенной нагрузкой, приложенной к верхней части границы слоя.

В случае антиплоской задачи ненулевой компонентой вектора перемещений является компонента , краевая задача имеет вид:

(1)

(2)

где упругие постоянные материала.

В случае плоской деформации краевая задача имеет вид:

(3)

(4)

где – упругие постоянные материала, компоненты единичного вектора нормали, внешнего по отношению к области, занятой упругой средой.

Замыкают постановки задач 1, 2 условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения.

В параграфе 3 дается постановка обратных задач 3, 4 об установившихся колебаниях ортотропного упругого слоя с полостью произвольной конфигурации, где на основании заданных полей на части поверхности слоя или их амплитуд требуется восстановить форму поперечного сечения цилиндрической полости.





Вторая глава посвящена сведению исходных краевых задач к системам граничных интегральных уравнений и их исследованию. В первом и втором параграфе изложены способы построения матрицы-функции Грина для задач 1, 2 и проведено их исследование. В третьем параграфе изложено сведение краевых задач 1, 2 к системам интегральных уравнений. Построены представления волновых полей в слое, которые имеют вид (5), (для задачи 1 , для задачи 2 )

, (5)

где – компоненты тензора напряжений, которые определяются через компоненты матрицы-функции Грина для соответствующей задачи и закона Гука.

Соотношение (5) позволяет рассчитывать поле в слое. При этом волновые поля представимы в виде суммы двух слагаемых, первое из которых – эталонное поле, являющееся полем смещений в среде без дефекта, второе слагаемое обусловлено наличием в слое полости. Выражения для представимы в виде интегралов по контуру , который расположен в соответствии с принципом предельного поглощения.

В четвертом параграфе описано сведение систем ГИУ для задач 1, 2 к системам алгебраических уравнений на основе МГЭ. Соотношения (5) позволяют вычислить перемещения в любой точке слоя, если определить смещения на контуре полости, для определения которых получены системы ГИУ с нерегулярными ядрами, которые представлены уравнениями (6) для значений индексов: в случае задачи 1 и для задачи 2.

(6)

Следует отметить, что интеграл по контуру дефекта понимается в смысле главного значения по Коши.

Проведено численное исследование полученных систем сингулярных интегральных уравнений (6) и полей перемещений на верхней границе слоя. Изложены основные идеи МГЭ, проведена дискретизация систем ГИУ с использованием а) постоянной и б) линейной аппроксимации неизвестных функций смещений на контуре полости. Серии численных экспериментов показали, что относительная разница расчета поля смещений на поверхности слоя для двух типов граничных элементов (линейные и постоянные ГЭ) не превосходила 3% в случае, когда число постоянных ГЭ в два раза больше числа линейных ГЭ. Заметим, что реализация подхода б) более трудоемка и занимает значительно больше машинного времени по сравнению с реализацией метода а), тогда как сходимость решения к истинному можно обеспечить увеличением числа ГЭ при аппроксимации контура постоянными ГЭ. В результате дискретизации систем ГИУ (5) получены системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения узловых значений функций смещений на контуре полости. Матрицы СЛАУ имеют явное диагональное преобладание, являются хорошо обусловленными и их решения устойчивы к малым вычислительным погрешностям элементов СЛАУ. Несмотря на отсутствие явного представления матриц Грина, получено представление коэффициентов алгебраических систем в виде однократных интегралов по контуру .

На основе найденных узловых значений функций смещений на контуре полости построены волновые поля перемещений на верхней границе слоя.

В параграфах 5 и 6 представлена численная реализация задач 1, 2 на основе созданного комплекса программ на языке Fortran. Произведен ряд вычислительных экспериментов для слоя из различных материалов с цилиндрической полостью произвольной конфигурации для задач 1 и 2. Представлены графики зависимостей функций смещений на полости от числа граничных элементов. Отметим, что для получения адекватной картины волновых полей в слое число граничных элементов на длину волны зондирующего сигнала выбиралось равным 5 – 7. Исследована зависимость полей смещений от геометрии полости, места ее залегания, а также наличия двух и более цилиндрических полостей в диапазоне низких и средних частот. Приведены графики полей смещений на верхней границе слоя.

Третья глава работы посвящена асимптотическим методам решения задач 1,2 в случае цилиндрической полости кругового поперечного сечения малого характерного размера . Этот случай представляет особую важность в практических приложениях. В первом параграфе изложены численные и асимптотические методы решения задач 1, 2. Асимптотический метод обоснован в следующей области изменения безразмерных параметров:

,

где , причем для задачи 1, для задачи 2, – критическое значение параметра, которое разделяет случай распространяющихся и не распространяющихся мод, так в задаче 1

Следует отметить, что решение обратной задачи идентификации обычно строится при , что соответствует случаю малого дефекта, когда в слое имеются бегущие волны. Также изложен метод построения волновых полей в слое с полостью малого характерного размера на основе приближения Борна, которое широко используется в акустике для расчета волновых полей при наличии слабых рассеивателей. В этом случае борновское приближение однократного рассеяния хорошо описывает дифракцию на таком дефекте, причем перемещения на контуре заменяются эталонным полем смещений в центре дефекта.

Построены асимптотические представления рассеянных полей на контуре полости через эталонное поле

(7)

причем, например, в случае задачи 1 ()

Важно отметить, что выражение для полей смещений в приближении Борна не учитывает изменяемости полей смещений на контуре полости.

Исследована структура асимптотики волновых полей перемещений для задач 1, 2 на поверхности слоя, построены формулы для амплитуд, которые пропорциональны площади дефекта. Проведен сравнительный анализ полей смещений на контуре дефекта, рассчитанного на основе МГЭ, асимптотического подхода и приближения Борна, оценена область применимости таких подходов по сравнению с МГЭ.

В параграфе 2 настоящей главы описана численная реализация задач 1, 2 о колебаниях слоя с полостью малого относительного размера.

На рисунке 1 представлены графики вещественной и мнимой части поля на поверхности слоя для задачи 1, которое было рассчитано на основе сведения краевой задачи 1 к ГИУ с использованием МГЭ, асимптотического подхода типа (7) и приближения Борна. Сплошной линией изображены смещения в соответствии с МГЭ, точками – расчеты по асимптотической формуле, пунктир соответствует приближению Борна.

 В расчетах принято:, (одна-41  В расчетах принято:, (одна бегущая-42

Рис.1



Pages:   || 2 | 3 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.