авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 | 3 |

Исследование свободных и вынужденных колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории с.п. тимошенко

-- [ Страница 1 ] --

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТУЛКИНА Анна Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ НАНООБЪЕКТ,

НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ С.П. ТИМОШЕНКО

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

2011

Работа выполнена на кафедре теории упругости математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доцент ПАВИЛАЙНЕН Вольдемар Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ФИЛИППОВ Сергей Борисович

(Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, доцент ПОМЫТКИН Сергей Павлович

(Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров)

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится “___”_________2011 г. в __ часов на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан “____” ___________ 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время является актуальной задача определения механических характеристик нанообъектов, представляющих собой микроразмерные стержни. При экспериментальных исследованиях наблюдается несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате экспериментов на микро – и макроуровнях (работы Кривцова А.М., Морозова Н.Ф., Быкова Д.Л., Коновалова Д.Н. и др.) В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта.

Исследование свойств нанообъектов в настоящее время осуществляется с помощью зондовой микроскопии. Для этих целей широко используется атомный силовой микроскоп (АСМ). Важнейшим элементом АСМ является сканирующий зонд – кантилевер.

Имеет место принципиальное отличие условий экспериментов с нанообъектами от условий экспериментов с макрообъектами. При исследовании макрообъектов размеры измерительных приборов (например, тензодатчиков) существенно меньше размеров исследуемого объекта. При изучении объектов наноразмерного масштабного уровня используется микроразмерное оборудование.

Поэтому большое значение приобретает задача анализа взаимодействия нанообъектов с измерительными устройствами (в частности, с кантилевером АСМ). Ее решению посвящен ряд работ, основанных на применении классической теории колебаний стержней Бернулли – Эйлера.



Цель работы состоит в разработке теоретических методов определения упругих характеристик нанообъектов на основе теории С.П. Тимошенко, сравнение результатов с результатами, полученными по теории Бернулли – Эйлера.

Научная новизна. Задача о колебаниях системы кантилевер – исследуемый нанообъект, решение которой построено на основе классической теории Бернулли – Эйлера, опубликована в статье профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., «К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов», СПб: Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.10. стр. 74-80.

В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе теории С.П. Тимошенко. Научная новизна содержащихся в диссертации результатов состоит в учете угла поворота поперечного сечения и деформаций сдвига, как в уравнениях равновесия, так и в соотношениях упругости.

В работе построены частотные уравнения в задачах о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний. Далее рассматривается задача о вынужденных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта.

Результаты, выносимые на защиту.

1) Выбор разрешающей системы уравнений свободных и вынужденных колебаний двух сопряженных консольных стержней с одинаковыми операторами в левых частях позволил получить рациональные аналитические решения.

2) Построены частотные уравнения в задаче о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний на основе теорий Бернулли – Эйлера и Тимошенко. Дан анализ спектров собственных частот системы.

3) Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях для обеих теорий, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта. Дан анализ спектров частот системы при вынужденных колебаниях, полученных при варьировании исходных геометрических параметров элементов системы.

Теоретическая ценность работы заключается в построении уравнений свободных и вынужденных колебаний системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получении точных решений для уравнений частот, форм свободных и вынужденных колебаний, а также для величины прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил.

Получены числовые результаты и дан их анализ. При этом варьируются геометрические параметры исследуемого нанообъекта, что по результатам расчета показывает влияние изменения указанных выше параметров исследуемого нанообъекта на количественную и качественную характеристику картины колебаний. В этом состоит практическая ценность работы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедрах теории упругости и теоретической механики математико-механического факультета СПбГУ, на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (Computer Methods in Continuum Mechanics) в Санкт-Петербургском государственном университете путей сообщения (СПбГУПС), на международной конференции по механики «V Поляховские чтения» (СПбГУ, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы. Список приведен в конце автореферата. Работа [1] опубликована в журнале из перечня ВАК. Работы [2] – [4] опубликованы в соавторстве. В работах [2] – [4] научному руководителю принадлежат общая постановка задачи и указания на идеи исследования, а их детальная реализация принадлежит диссертанту.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет – 110 страниц, включая 35 рисунков, 18 таблиц и список цитированной литературы из 26 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулирована цель работы.

Отмечено, что основной моделью балки, используемой в расчетах, является предложенная в XVIII веке модель балки Бернулли – Эйлера. Она довольно проста и обеспечивает достаточную точность решения простых инженерных задач, и поэтому она используется наиболее часто. Однако опыты показывают, что частоты, полученные в рамках теории Бернулли – Эйлера, несколько завышены.

Другая теория, уточняющая теорию Бернулли – Эйлера, за счет учета влияния в уравнениях равновесия и соотношениях упругости инерционных нагрузок при повороте элемента поперечного сечения и деформации сдвига получила название теории Тимошенко.

Задача, рассматриваемая в диссертации, представляет практический интерес. Рассмотренная в работе система стержней является механической моделью сканирующий зонд (кантилевер) – исследуемый нанообъект, простейшая схема которой представлена на Рис.1.

Рис. 1. Механическая модель системы кантилевер – исследуемый объект.

В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе теории С.П. Тимошенко, в которой учитываются деформации сдвига, как в уравнениях равновесия, так и в соотношениях упругости.

В настоящее время актуальной является задача экспериментального определения механических характеристик нанообъектов. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате экспериментов на микро – и макроуровнях отмечали многие исследователи (Кривцов А.М., Морозов Н.Ф., Иванова Е.А., Дунаевский М.С.). В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта.

Исследование свойств нанообъектов в настоящее время осуществляется с помощью зондовой микроскопии. Для этих целей широко используется атомный силовой микроскоп (АСМ). Важнейшим элементом АСМ является сканирующий зонд – кантилевер. Стандартные промышленные кантилеверы имеют габаритные размеры порядка 200 х 35 х 1,5 мкм и резонансные частоты порядка 10 – 400 кГц; радиус кривизны конца иглы меняется в интервале 10 – 50 нм. Игла (пирамидка) устанавливается на свободном конце измерительной консоли. Пирамидки изготавливают из кремния или из более прочного материала – нитрида кремния (Si3N4).

При измерении частот исследуемого объекта с помощью АСМ возникает перераспределение собственных частот колебаний системы кантилевер – исследуемый нанообъект между собственными частотами каждого из них в отдельности. Как было отмечено в работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., характер смещения спектра существенно зависит от расстояния между острием иглы сканирующего зонда и поверхностью нанообъекта, так как это равносильно изменению «жесткости» связи полевого взаимодействия.

Это указывает на принципиальное отличие условий для экспериментов с нанообъектами от условий экспериментов с макрообъектами. При исследовании макрообъектов размеры измерительных приборов (например, тензодатчиков) существенно меньше размеров исследуемого объекта. При изучении объектов наноразмерного масштабного уровня используется микроразмерное оборудование. Поэтому большое значение приобретает задача анализа взаимодействия нанообъектов с измерительными приборами. В работе Ивановой Е.А., Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф. эта проблема обсуждается применительно к задаче экспериментального определения упругих характеристик нанообъектов с помощью АСМ и дана реализация известной в классической теории методики определения резонансных и «антирезонансных» частот. Была предложена механическая модель системы кантилевер – исследуемый объект (Рис. 1.), в которой полевое взаимодействие между кантилевором и исследуемым нанообъектом моделируется линейной пружиной с жесткостью С, это соответствует линеаризации потенциала Леннарда – Джонса в области статического равновесного состояния. Кантилевер вдали от исследуемого объекта занимает горизонтальное положение, при приближении к объекту кантилевер начинает деформироваться, но на определенном расстоянии от него снова занимает горизонтальное положение – это и есть статическое равновесие. В отсчетной конфигурации стержни считаются недеформированными, а пружина – ненапряженной.

В работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф. было отмечено, что в окрестности положения статического равновесия жесткость связи между кантилевером и исследуемым объектом достаточно большая, то есть C >> C1, где C – жесткость кантилевера, C1 – жесткость связи. По этой причине определить жесткость связи С из статических экспериментов крайне трудно – разность между перемещением конца кантилевера и исследуемого объекта оказывается в пределах погрешности измерений. При жесткости связи C ~ C1 или C << C1 проводить измерения сложно, так как эта область находится на неустойчивом участке зависимости сила – перемещение.





На основании приведенного обзора в настоящее время актуальными и требующими дальнейшего исследования является разработка теоретической базы для решения задач о свободных и вынужденных колебаниях системы стержней. Решение первой задачи будет ответом на вопрос определения упругих модулей исследуемого нанобъекта по частотам системы, а решение второй задачи позволит разработать условия эксперимента, при которых из спектра системы можно выделить собственные частоты нанообъекта. Эти задачи были решены на основе теории Бернулли – Эйлера в работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., «К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов», СПб: Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.10. стр. 74-80.

В предлагаемой диссертации на основе теории С.П. Тимошенко построены частотные уравнения в задачах о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний. Далее рассматривается задача о вынужденных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта. Полученные решения сравниваются с результатами, полученными на основе теории Бернулли – Эйлера.

В первой главе дан расчет частот и форм свободных и вынужденных колебаний консольного стержня на основе теорий Бернулли – Эйлера и Тимошенко. Полученное решение иллюстрируется числовыми примерами, графиками и таблицами. Дан анализ полученных результатов.

В первом параграфе рассматривается задача о свободных колебаниях балки. Рассмотрим балку длины l с защемленным левым и свободным правым концом, ось которой лежит в вертикальной плоскости симметрии xOy (Рис. 2) и направлена по оси Ox. Положительные направления изгибающего момента M и поперечной силы Q в сечениях x и x+dx, а также распределенной на оси инерционной поперечной нагрузки q(x,t) и распределенного инерционного момента m(x,t) при повороте элемента показаны на Рис. 2.

Рис. 2. Система координат, действующие нагрузки.

Уравнения равновесия малого элемента балки имеют вид

, ,

отличающийся от уравнений С.П. Тимошенко только знаками некоторых слагаемых вследствие принятого противоположного направления оси Oy (Рис. 2). Если y = y(x,t) – уравнение изогнутой оси балки, то q (x,t) и m (x,t) определяется формулами

в которых , F, J – соответственно плотность материала стержня, площадь и момент инерции его поперечного сечения.

Приводится решение в теории Бернулли – Эйлера в кратком изложении, что необходимо для его обобщения на дальнейшие задачи и сравнения получаемых результатов.

Уравнение равновесия в перемещениях

,

решение которого должно удовлетворять граничным условиям

Решая эту задачу, находим частотное уравнение, известное в литературе (С.П.Тимошенко; Пономарев С.Д., Бидерман В.Л. и др.)

. (1)

Значения k из частотного уравнения можно найти численным методом, после чего определяется спектр собственных круговых частот по формуле:

где i – номера корней частотного уравнения (1) и соответствующей собственной частоты.

Частотное уравнение на основе теории Тимошенко. При учете инерционных нагрузок и деформаций сдвига уравнения равновесия элемента балки, сохраняют свой вид, а угол поворота поперечного сечения в теории С.П. Тимошенко записывается в виде суммы:

,

где – угол сдвига, а – угол поворота, определяющий величину изгибающего момента (касательные напряжения, соответствующие углу , момента не вызывают).

Получена система уравнений равновесия в перемещениях с искомыми функциями y(x,t) и (x,t)

, , (2)

решение которой должно удовлетворять граничным условиям:

Кинематические граничные условия формулируются для перемещений X и углов повора , это обеспечивает выполнение закона сохранения энергии и теоремы взаимности работ, обоснование этого приводится в работе В.И. Сливкера. Решая систему (2), получаем частотное уравнение

. (3)

Здесь для краткости введены обозначения

(4) (5) (6)


Pages:   || 2 | 3 |
 

Похожие работы:










 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.