авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Бейбалаев Ветлугин Джабраилович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ В СРЕДАХ

С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

05.13.18- Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Махачкала 2009

Диссертация выполнена на кафедре прикладной математики

Дагестанского государственного университета

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Мейланов Р.П.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор Жорник А.И.,

Таганрогский государственный педагогический институт

Кандидат физико-математических наук,

Мамчуев М.О.,

Научно-исследовательский институт

прикладной математики и автоматизации

Кабардино-Балкарского научного

центра РАН

Ведущая организация: Институт прикладной математики и

информатики ВНЦ РАН, г. Владикавказ

Защита состоится «23» апреля 2009 г. в 14 20 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, ТТИ ЮФУ,
ГСП-17А.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного Федерального университета.

Автореферат разослан « 16 » марта 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Несмотря на значительные усилия исследователей до сих пор задача создания адекватных количественных моделей неравновесных процессов остается актуальной. Особенно это актуально, когда речь идет о системах с фрактальной структурой. При описании свойств систем с фрактальной структурой нельзя использовать представления евклидовой геометрии и необходимо привлечь представления геометрии дробной размерности. Особенность систем с фрактальной структурой в том, что для них существенны такие эффекты, как память, сложная природа пространственных корреляций и эффекты самоорганизации. Создание адекватных математических моделей для систем, где проявляются свойства самоорганизации, детерминированного хаоса, также требует привлечения нетрадиционных подходов, основанных на применении математического аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка.

Развитие прикладных аспектов математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка представляет интерес не только с точки зрения создания адекватных математических моделей для решения практических задач, но и с точки зрения развития самой математики интегродифференцирования дробного порядка.

В отличие от традиционного подхода, когда для количественного описания исследуемого явления используется одно соответствующее уравнение, имеющее заданный класс решений, применение аппарата интегродифференцирования дробного порядка позволяет использовать однопараметрический континуум дифференциальных уравнений. Это принципиально меняет подход к анализу экспериментальных данных, позволяя использовать новый параметр, который и представляет собой показатель дробности производной. В частности, открываются новые возможности для решения задачи прогноза. Традиционными методами, включая современные методы детерминированного хаоса и вейвлет анализа, задача прогноза не решается.



Применение аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка позволяет глубже понять известные результаты и получить новый класс решений, позволяющий охватить широкий круг задач, ранее не объяснимых с позиций традиционных подходов.

Общая тенденция развития науки на современном этапе заключается в интеграции различных направлений естествознания. Образовалось новое научное направление – физика открытых систем, в рамках которого объединяются такие направления как синергетика, диссипативные структуры, детерминированный хаос, концепция фрактала с приложениями в физике, химии, биологии, геофизике, теории информации, математических основ экономики, социологии. Область приложений физики открытых систем все более расширяется, требуя при этом решения проблем как фундаментального, так и прикладного характера.

Множество вопросов, представляющих практический интерес и которые переросли в задачи, имеющие фундаментальное значение, связаны с природой релаксации сильнонеравновесных состояний к состоянию равновесия. К неравновесным процессам относятся процессы тепломассопереноса гидро- и газо -динамики в сложных системах, как недра земли, поверхностный слой почвы, различные процессы связанные с климатическими катастрофами. Особенностью неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой является медленная релаксация корреляционных связей, когда многочастичные функции распределения не распадаются на произведения одночастичных функций распределения. В частности могут существовать неравновесные стационарные состояния, когда система в рассматриваемой задаче в принципе не достигает равновесного состояния. Все это приводит к тому, что традиционные методы «сокращенного» описания в статистической физике становятся не пригодными при исследовании свойств систем с фрактальной структурой.

Фрактальный подход вносит новый уровень понимания динамики соотношения обратимых и необратимых процессов, открывая тем самым, новое направление в развитии неравновесных процессов, в основе которых лежит самоорганизация. Ярким примером такого объекта является пылевая плазма, в которой проявляется процессы самоорганизации.

Таким образом, разработка методов моделирования физических процессов в средах с фрактальной структурой, основанные на математическом аппарате интегродифференцирования дробного порядка актуальна.

На актуальность рассматриваемой в диссертации темы показывает также многочисленные работы в этой области Нахушева А.М., Чукбар, Нигматулина Р.Р., Мейланова Р.П., Лубашевского И.А., Забаровского В.С., Городецкого А.Я., Нахушевой В.А., Сербиной Л.И., Гекиевой С.Х., Головизина В.М., Кисилева В.П., Charles Tadjeran, Mark M. Meerschaert и др.

Цель диссертационной работы. Развитие нового подхода на основе математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка для создания адекватных математических моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой.

В соответствии с поставленной целью сформулированы следующие основные задачи исследования:

- на основе математической модели линейного гармонического осциллятора разработать математическую модель «фрактального» осциллятора;

- на основе известных моделей теплопереноса разработать математическую модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой с учетом нелокальностей по времени (память) и по пространству (пространственные корреляции);

- разработать численные методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка по времени и по пространственной переменной.

Обоснованность и достоверность диссертационных исследований определяются корректным применением методов исследований, математической обоснованностью полученных решений, подтверждаются результатами вычислительных экспериментов, проверкой адекватности результатов, полученных на основе разработанных моделей, с известными результатами по тепломассопереносу.

Научная новизна работы:

  • Разработана математическая модель «фрактального» осциллятора.
  • Разработана математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой.
  • Разработана математическая модель процесса кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой, учитывающая особенности межфазной границы.
  • Разработаны численные методы решения краевых задач для уравнения переноса в средах с фрактальной структурой.
  • Получено обобщенное уравнение Фоккера-Планка.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные математические модели и численные методы решения краевых задач могут служить основой для моделирования неравновесных процессов и построения численных алгоритмов решения задач тепломассопереноса в средах с фрактальной структурой. Область их применения - исследование неравновесных процессов в открытых системах с учетом эффектов памяти, пространственных корреляций и самоорганизаций, прогнозирование и анализ нелинейных колебательных процессов.

Исследования по теме диссертации проводилось в рамках научно-исследовательских работ кафедры прикладной математики Дагестанского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации были предметом систематического обсуждения на заседаниях кафедры прикладной математики, в докладах ежегодных преподавательских конференций математического факультета Дагестанского государственного университета и прошла апробацию на следующих научных мероприятиях:

1. II республиканская научно-практическая конференции «Информационные и телекоммуникационные системы: интегрированные корпоративные сети. Махачкала, ДНЦ РАН, 2002.

2. Пятьдесят седьмая научная сессия, посвященная дню Радио. Москва, 2002.

3. Первая Международная научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, 2003.

4. Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ, 2004.

5. Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ, 2006.

6. Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы физики и биологии». Нальчик, 2006.

7. Российская заочная конференция «Современные наукоемкие технологии» Москва, 2007.

8. Третья Международная научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, 2007.

9. Пятая школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы физики и биологии». Нальчик, 2007.

10. Пятая региональная научно-техническая конференция «Дагинформ-2008». Махачкала, 2008.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 14 работ и одна работа принята к опубликованию. Из них две работы [1,2] опубликованы и одна работа [3] принята к опубликованию в изданиях рекомендованных ВАК для публикации основных результатов. Работа [4] зарегистрирована в Федеральном государственном унитарном предприятии Научно-техническом центре «ИНФОРМРЕГИСТР» и присвоен идентификационный номер 0420700037 \ 0001. Пять работ [9,10,11,12,13] опубликованы в материалах международных и региональных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы 132 стр.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор проблемы, рассматриваемой в диссертации, анализ литературы, сформулированы цели диссертации и обоснована актуальность работы.

Первая глава является вводной. В этой главе рассматривается математическое определение фрактала. Приведены примеры геометрических и алгебраических фракталов и рассмотрена методика их построения. Дается интерпретация фрактала с позиции физических свойств и связи особенностей геометрии свойств объекта с их физическими свойствами.

Глава II посвящена построению математической модели «фрактального» осциллятора. В качестве математической модели фрактального осциллятора рассмотрено уравнение:

, (1)

где - производная Caputo,
- производная Римана- Лиувилля, коэффициент обычного затухания, - вынуждающая сила, - частота.

Предложенная математическая модель учитывает фрактальность среды и нелокальности во времени. В случае когда , мы получаем уравнение линейного гармонического осциллятора.





В случае, когда =0 уравнение (1) примет вид:

(2)

где , - производная Caputo. Рассмотрен случай, когда . Здесь - функция Миттаг-Лефлера. Получено решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям .

В случае, когда из (1) получим:

, (3) где - коэффициент «обычного» затухания решений.

Получено решение уравнения (3)

Установлено, что при переходе к пределу получается решение для «фрактального» осциллятора без затухания

.

Таким образом, решения уравнения для «фрактального» осциллятора с затуханием содержат в частном случае известные ранее решения, и расширяет область решений.

Разработанная модель может служить основой для моделирования сложных нелинейных колебательных процессов в биологических и экономических системах.

Глава III посвящена построению математической модели переноса в средах с фрактальной структурой.

Процесс переноса в средах с фрактальной структурой характеризуется нестационарным распределением частиц в пространстве, где расстояние x, которое прошла частица за время t из начальной точки, растет по степенному закону. Рассмотрено в качестве математической модели теплопереноса во фрактальных средах, обобщенное уравнение теплопроводности, коэффициенты которого учитывают выделение и перенос тепла:

(4)

где -Caputo, - производная Римана- Лиувилля.

Здесь температура, - коэффициент теплопроводности, удельная плотность тепловыделения за счет внутренних источников.

Предполагаемая математическая модель учитывает фрактальность среды; плотностные свойства; пространственные и временные корреляции.

В случае, когда уравнение (4) примет вид:

. (5)

Получены решения уравнения (5) в бесконечной, ограниченной и полуограниченной областях. Рассмотрены следующие задачи:

Задача 1 (случай неограниченной области). Найти решение уравнения

,

в области , удовлетворяющее начальному условию . Здесь - производная Caputo.

Эта задача с производной Римана-Лиувилля исследована в работе
Гекиевой. Получено решение:

. (6)

В случае, когда имеем

.

Решение в случае производной Caputo качественно отличается от решения, полученного в работе Гекиевой. В нашем случае в решении отсутствует сингулярный множитель , что качественно важно при моделировании процессов переноса в средах с фрактальной структурой.

Задача 2 (случай ограниченной области с краевыми условиями третьего рода). Найти решение уравнения

,

в области удовлетворяющее условиям:

, при при x=.

Эта задача с краевыми условиями первого рода была исследована в работе Гекиевой. В нашем случае мы рассматриваем краевые условия третьего рода. Получено решение:

,

где ,

а корни уравнения .

Задача 3 (случай полуограниченной области). Найти решение уравнения в области , , удовлетворяющее начальному условию и граничному условию

Получено решение:

.

А в случае, когда , и уравнение (4) примет вид: ,

Для нахождения решения, удовлетворяющего начальному условию и краевым условиям , t>0 предложен численный метод. Здесь .

Как указано в работах Головизина В.М., Кисилева В.П., несмотря на долгую историю развития математического аппарата дробного дифференцирования, аналитические методы решения уравнений дробной диффузии оказываются малоэффективными, а теория численных методов их решения носит фрагментарный характер и далека от завершения.

Построена разностная схема с весами:

где

Эта разностная схема определена на 6 точечном шаблоне. В случае мы получаем явную схему на 4 точечном шаблоне

, (7)

где . Доказана теорема.

Теорема 1. Разностная схема (7) устойчива, если

где ,

В случае получаем полностью неявную схему с опережением на шаблоне:

(8)

Доказана теорема об устойчивости разностной схем (8).

Теорема 2. Неявная разностная схема (8) безусловно устойчива, в случае .

В случае, когда нужно учитывать эффекты памяти и пространственные нелокальности, в качестве математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой рассмотрено уравнение (4):

где , , с граничными условиями и начальным условием в области .

Построена разностная схема:

(9)

где . Доказана теорема об устойчивости разностной схемы (9).



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.