авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 | 3 |

Построение и анализ математических моделей деформации упругих стержней с приложением к определению условий замкнутости молекул днк

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

ТИМОШЕНКО Дмитрий Владимирович

Построение и анализ математических моделей деформации упругих стержней с приложением к определению условий замкнутости молекул ДНК

Специальность:

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Таганрог 2008

Работа выполнена

в ГОУВПО «Таганрогский государственный педагогический институт».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Илюхин Александр Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жорник Александр Иванович

(ТГПИ, г. Таганрог)

доктор физико-математических наук,

доцент Соловьёв Аркадий Николаевич

(ДГТУ, г. Ростов-на-Дону)

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

им. Н.Г. Чернышевского, г. Саратов

Защита состоится « 22 »    января    2009 г. в 14-20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 Южного федерального университета по адресу: 347928, ГСП-17 А, Ростовская область г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д- 406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « 20 »  декабря      2008 г.

Просим Вас прислать отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью учреждения, по адресу: 347928, ГСП -17А, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, диссертационный совет Д 212.208.22.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 212.208.22 доктор технических наук, профессор А.Н. Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение математических моделей деформации упругих стержней представляет интерес с точки зрения теории упругости, а так же для описания с помощью этих моделей поведения реальных физических объектов, близких по своим свойствам к упругим стержням. К таким объектам относятся ряд деталей механизмов и машин, элементы инженерных сооружений и конструкций (например, космические тросовые системы). Высокие требования к точности расчёта рабочих характеристик упругих элементов конструкций ставят перед необходимостью совершенствования математических моделей, описывающих поведение упругих элементов конструкций, модификации известных и созданию новых методов качественного и количественного анализа этого поведения.

Кроме того, в последние годы в работах ряда отечественных и зарубежных учёных было предложено применение механической модели упругого стержня к исследованию биологических макромолекул, и, прежде всего, молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты – ДНК. Суть такого подхода заключается в представлении молекулы ДНК в качестве одномерного континуального объекта – упругого стержня – и исследовании изменения конфигураций молекулы в ходе ее существования как деформаций упругого стержня различными видами внешних нагрузок. К основоположникам этого направления относятся отечественные учёные М.Д. Франк-Каменецкий и А.И. Китайгородский, а также американцы К. Бенхем и Д. Хёрст, независимо друг от друга в начале 80-х годов прошлого века обосновавшие применимость стержневой модели при определении механических параметров молекулы ДНК и её возможных пространственных конфигураций. Дальнейшее развитие это направление получило в трудах ряда отечественных и зарубежных специалистов, среди которых отметим работы У. Олсона и Дж. Уайта (США), Дж. Мэддокса (Швейцария), Ватади и Тсуру (Япония), Н.Н. Козлова, Т. М. Энеева (ИПМ им. М.В. Келдыша), Е.И. Кугушева и Е.Л. Старостина (МГУ).



Во всех перечисленных направлениях при изучении деформации гибкого стержня одной из основных задач является определение возможных форм, которые может принимать стержень в результате деформации, а также установление механических параметров стержня и характеристик воздействия, позволяющих получить требуемую конфигурацию стержня. Одним из типов конфигураций стержня, представляющим значительный интерес и сравнительно мало изученным, являются замкнутые конфигурации. Определение условий замкнутости стержневых объектов находит своё применение в задачах проектирования систем пассивной гравитационной стабилизации ИСЗ вследствие того, что условия, при которых возможно образование замкнутых конфигураций, являются предельным случаем для допустимых воздействий на такие системы. Знание условий, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций, поможет подобрать оптимальные механические характеристики стержневых элементов при проектировании подобных систем и избежать необратимого негативного влияния агрессивной космической среды. С другой стороны, благодаря известной кинетической аналогии Кирхгофа, условия образования стержнями замкнутых конфигураций в аналитической динамике будут соответствовать условиям существования периодических движений твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. Такие движения представляют наибольший интерес.

С точки зрения применения теории стержней в исследованиях пространственных конфигураций молекулы ДНК, отметим, что результаты экспериментов показывают зависимость многих физиологически важных регуляторных механизмов в процессе жизнедеятельности клетки от замкнутости третичной структуры молекулы ДНК.

Из сказанного вытекает необходимость исследования условий замкнутости упругих стержней и их систем, а также выявление факторов, влияющих на их пространственную конфигурацию в целом.

Цель диссертационной работы состоит в построении и исследовании математических моделей деформации упругих стержней, обобщающих модель Кирхгофа, путём последовательного изменения предположений о характере взаимосвязей между механическими параметрами стержня и последующем применении построенных моделей к изучению пространственных конфигураций молекулы ДНК и, главным образом, – к нахождению условий, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций ДНК.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

  1. Разработать математическую модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающую связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня, обобщающие соотношения Кирхгофа.
  2. Построить математическую модель деформации стержня, учитывающую вращательные взаимодействия микрочастиц вещества, из которого выполнен стержень.
  3. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа с помощью универсального геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказать существование замкнутых конфигураций стержневых объектов и получить аналитические условия замкнутости в общем виде.
  4. Проинтегрировать систему уравнений Эйлера – Кирхгофа при предположениях, принимаемых для построенных в работе математических моделей. Исследовать механические эффекты, описываемые новыми решениями. Использовать построенные математические модели в задаче определения условий замкнутости молекул ДНК.
  5. Разработать и программно реализовать алгоритмы численного определения значений параметров математических моделей, обеспечивающих замкнутость стержневого объекта с помощью найденных решений системы уравнений Эйлера – Кирхгофа, и провести численный эксперимент на их основе.

Методы исследования опираются на теоретическую механику, дифференциальную геометрию, теорию упругости и численный анализ.

Достоверность результатов вытекает из их математического обоснования, подтверждается доказательными утверждениями и леммами, иллюстрируется экспериментальными данными, свидетельствующими о применимости построенных в работе математических моделей к исследованным объектам.

Научная новизна заключается в следующем:

  1. Предложена математическая модель деформации естественно закрученного и растяжимого стержня, в которой уравнения состояния обобщают соотношения Кирхгофа. Последнее отличает предложенную модель от аналогов в области исследования конфигураций естественно закрученных стержней и позволяет объяснить ряд экспериментально наблюдаемых механических эффектов, возникающих при их деформации. В частности, при исследовании конформаций молекул ДНК в рамках модели деформации естественно закрученного стержня, выявлены ограничения на способность молекулы ДНК к сверхспирализации.
  2. Построена математическая модель деформации стержня на основе несимметричной теории упругости. Модель отличается от известных тем, что учитывает моментные напряжения внутри материала стержня, возникающие в результате вращательного взаимодействия образующих материал микрочастиц. Это позволяет оценить интегральное влияние интенсивности моментных напряжений в материале стержня на его геометрию. Последнее оказывается существенным при изучении конфигурации молекулы ДНК, для которой вращательные взаимодействия компонент весьма значительны.
  3. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа, с помощью общего геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказано существование, и получены аналитические условия замкнутости стержневых объектов. Данные условия отличаются от известных аналогов инвариантным характером относительно математической модели и дают численные значения параметров решений системы уравнений деформации, при которых конфигурация стержня является замкнутой. Это позволяет определять допустимые для осуществления замкнутости механические параметры стержня и характеристики внешних воздействий.
  4. Получены два точных решения системы уравнений Эйлера – Кирхгофа в случае равных жёсткостей стержня на изгиб. Найденные решения позволили в рамках единого математического аппарата оценить влияние новых механических факторов, учитываемых при построении каждой математической модели, на характер условий замкнутости и вид замкнутых конфигураций. Теоретические результаты, полученные при анализе построенных моделей интерпретированы в задаче определения условий замкнутости молекулы ДНК. Это позволило объяснить ряд экспериментально наблюдаемых в поведении молекулы явлений.
  5. Разработаны и программно реализованы алгоритмы численного определения значений механических параметров упругого стержня и параметров внешних воздействий, при которых стержень в результате деформации образовывает замкнутые конфигурации. Предложенные алгоритмы отличаются инвариантностью относительно вида решения системы уравнений Эйлера – Кирхгофа, а также математической модели деформации стержня и позволяют определять значения конструктивных параметров с заданной точностью.

Основные положения, выносимые на защиту:

  1. Математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня, обобщающие соотношения Кирхгофа.
  2. Математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество.
  3. Точные решения системы уравнений Эйлера – Кирхгофа, полученные в рамках построенных математических моделей деформации стержня.
  4. Условия существования замкнутых конфигураций стержневых объектов.
  5. Алгоритмы численного определения механических параметров замкнутых конфигураций стержневых объектов, учитывающие математическую специфику предложенных моделей.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере разработанных математических моделей и возможности интерпретации результатов моделирования одновременно в нескольких областях.





Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы: в ГОУВПО «Таганрогский государственный педагогический институт» на физико-математическом факультете в процессе преподавания курсов «Уравнения математической физики», «Дополнительные главы математического анализа», «Избранные вопросы теоретической физики». Внедрение результатов работы подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: IV региональной конференции «Молодёжь XXI века – будущее российской науки» (Ростов-на-Дону, РГУ, 2005 г.); VII всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006г.); Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2006 г.); XIV международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2007 г.); международной конференции «Классические задачи динамики твёрдого тела» (Донецк, Украина, 2007 г.); международной научно-технической конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2007 г.); III, IV всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2007, 2008 гг.); международной конференции «Проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007 г.); международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела» (Донецк, Украина, 2008 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, из них три в изданиях, входящих в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденный ВАК.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного раздела, заключения, списка литературы. Основное содержание работы изложено на 155 страницах, включая список литературы из 102 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследования, основные положения, выносимые на защиту, ставятся основные задачи исследования.

Первая глава посвящена описанию общего метода исследования пространственных конфигураций деформированного упругого стержня с помощью решений системы уравнений Эйлера – Кирхгофа, описывающей его деформации. Приводится обоснование применимости стержневых моделей к исследованию пространственной конфигурации биополимеров и, прежде всего, молекул ДНК.

а) участок молекулы ДНК, б) участок молекулы ДНК, в) эквивалентный

содержащий две пары оснований. содержащий 120 000 пар оснований. упругий стержень.

Рис. 1 Механическая модель молекулы ДНК

Суть механической модели молекулы ДНК (рис. 1) состоит в том, что молекуле ставиться в соответствие упругий стержень, ось которого совпадает с гипотетической осью молекулы, а боковая поверхность – с гипотетической боковой поверхностью молекулы, а также обладающий близкими к молекуле механическими характеристиками. Поведение такого стержня под действием внешних сил считается эквивалентным поведению молекулы ДНК в естественной для нее среде.

В рамках математической модели деформации стержня, основанной на классической теории Кирхгофа, на примере двух точных решений системы уравнений Эйлера – Кирхгофа исследуются условия, при которых стержни могут образовывать замкнутые конфигурации. Полученные условия интерпретированы в задаче определения условий образования замкнутых конфигураций молекул ДНК. Выбранные решения получены при близких предположениях относительно механических свойств деформируемого объекта, однако описывают различные исходные состояния.

Система уравнений Эйлера – Кирхгофа в векторной форме имеет вид:

, , (1)

где – вектор Дарбу оси стержня, Р – равнодействующая концевых сил, М – вектор-момент внутренних сил, – единичный вектор вдоль концевой силы, е – единичный вектор касательной к оси стержня, вектор характеризует форму оси стержня к первоначальном состоянии. Дифференцирование по дуговой координате s производится в главных осях изгиба и кручения. Система дифференциальных уравнений (1) содержит девять неизвестных величин: , , (i= 1, 2, 3) поэтому является незамкнутой. Для того чтобы получить недостающие три уравнения, привлекают к рассмотрению уравнения теории упругости. В классической теории стержней Кирхгофа эти замыкающие уравнения имеют вид:

(2)

где — компоненты в главных осях изгиба и кручения вектора Дарбу для недеформированного состояния, — компоненты матрицы жёсткостей стержня. В дальнейшем рассматриваются изотропные стержни (,). Система уравнений (1) совместно с замыкающими соотношениями (2) допускает два общих интеграла:

(3)

(4)

третий интеграл, в случае равенства нулю недиагональных компонентов матрицы жёсткостей, имеет вид:

(5)

В работе используются следующие уравнения для координат точек оси деформированного стержня – упругой линии – в цилиндрической системе координат:

(6)

(7)

(8)

Система равенств (6), (7) и (8) полностью определяет значения координат точек упругой линии на решениях системы дифференциальных уравнений (1). При таком подходе к определению перемещений точек оси стержня нет необходимости в интегрировании кинематических уравнений Эйлера и вычислении углов Эйлера в качестве промежуточных переменных.



Pages:   || 2 | 3 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.