авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |

Математические модели и алгоритмы на графах с нестандартной достижимостью. динамические графы

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Кузьминова Марина Валерьевна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ НА ГРАФАХ С НЕСТАНДАРТНОЙ ДОСТИЖИМОСТЬЮ. ДИНАМИЧЕСКИЕ ГРАФЫ

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

05.13.17 – Теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону

2008

Работа выполнена

на кафедре алгебры и дискретной математики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного Федерального Университета в г.Ростове-на-Дону.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор Ерусалимский Яков Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Соколов Валерий Анатольевич

кандидат физико-математических наук,

доцент Басангова Елена Одляевна

Ведущая организация: Воронежский Государственный Университет,

г. Воронеж.

Защита диссертации состоится “ 22 ” января 2009 года в ч. мин. на заседании диссертационного совета Д212.208.22 Южного Федерального Университета по адресу: Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан “ ” 2008 года.

Просим Вас прислать отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью учреждения, по адресу: 347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44, диссертационный совет Д212.208.22.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.208.22

доктор технических наук, профессор А.Н. Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория графов предоставляет эффективные средства формализации задач из самых различных областей: экономики, физики, химии, планово-производственной практики, управления производством, сетевого и календарного планирования, информационных систем, и многих других. Одним из таких средств является ориентированный граф. Существует большое количество задач, решаемых на орграфах. Чаще всего рассматриваются задачи о достижимости (т.е. о существовании пути, связывающем две заданные вершины), о нахождении путей, обладающих какой-либо экстремальной характеристикой (например, кратчайший, или наиболее надежный путь), о случайных блужданиях, потоковая задача. Все они хорошо изучены и разработаны эффективные алгоритмы их решения. При этом предполагается, что все пути на графе являются допустимыми, т.е. не накладывается никаких ограничений на достижимость. Наиболее известные работы в этой области принадлежат Кристофидесу Н., Басакеру Р.Д., Харари Ф., Бержу К., Дейкстре Э., Флойду Р., Замбицкому Д.К., Оре О., Саати Т., Фалкерсону Д.Р., Форду Л.Р.

В отличие от классического подхода, Басанговой Е.О. и Ерусалимским Я.М. было введено понятие ориентированных графов с нестандартной достижимостью, т.е. орграфов, в которых на допустимые пути накладываются какие-либо ограничения. В обычном ориентированном графе, для того чтобы одна вершина была достижима из другой, необходимо существование пути, связывающего две эти вершины. В случае же орграфов с нестандартной достижимостью требуется, кроме того, чтобы этот путь удовлетворял некоторому условию (ограничению). Понятно, что в этом случае классические алгоритмы решения задач на графах непосредственно неприменимы.

В работах Ерусалимского Я.М., Басанговой Е.О., Логвинова С.Ю., Скороходова В.А., Петросяна А.Г. описаны различные виды ограничений на достижимость. Так, Ерусалимским Я.М. и Басанговой Е.О. рассмотрено несколько видов достижимости на частично-ориентированных графах, на которых присутствуют ориентированные и неориентированные ребра. Введено понятие смешанной цепи, на дуги и звенья которой накладываются различные условия, в зависимости от вида ограничений. Например, рассмотрены случаи, когда в смешанной цепи два неориентированных ребра не могут следовать непосредственно друг за другом, или дуги и звенья строго чередуются.

В работах Скороходова В.А. рассмотрены орграфы с накоплением неубывающей магнитности - го уровня. На таких графах допустимым является магнитно-накопительный путь порядка с неубывающей магнитностью, т.е. такой путь, что если на - м шаге величина накопленной магнитности не меньше и среди выходящих дуг есть хотя бы одна магнитная, то - я дуга пути должна быть магнитной. Другой вид достижимости – вентильно-накопительная. В этом случае множество дуг графа представляется в виде . В допустимом пути прохождение по дуге множества делает доступными для прохождения дуги множества . Также рассмотрены условия накопления-исчезания и возрастания-убывания магнитности, вентильная достижимость с возрастанием-убыванием доступа и энергии на пути, механическая достижимость.

Петросяном А.Г. определена барьерная достижимость, при которой множество дуг разбивается на три попарно непересекающихся подмножества: дуг, увеличивающих барьерный показатель, дуг барьерного перехода и нейтральных дуг. С каждым отрезком пути связана числовая характеристика – барьерный показатель частицы. Путь допускает барьерный переход уровня , если к некоторому шагу он накопил величину барьерного показателя, не меньшую . Еще один вид ограничений – биполярная магнитность. В этом случае определяется величина накопления биполярной магнитности. Путь считается допустимым, если он удовлетворяет условию биполярной магнитности уровня .

Общим подходом к решению задач на орграфах с ограничениями на достижимость является построение вспомогательного графа, имеющего большее количество вершин, и обладающего следующим свойством: допустимому пути на исходном графе с ограничениями соответствует некоторый путь на вспомогательном графе, а недопустимому пути не соответствует ни один путь. Алгоритм построения такого графа зависит от вида вводимых ограничений. На вспомогательном графе, таким образом, все пути являются допустимыми, а дуги – равноправными, и его можно рассматривать как обычный ориентированный граф. Для графов с нестандартными достижимостями описанных видов рассмотрены классические задачи о кратчайшем пути из вершины в вершину, о максимальном потоке в сети с нестандартной достижимостью и о случайных блужданиях на таких графах. Наибольшую сложность вызывают две последние задачи, так как при построении вспомогательного графа увеличивается не только количество вершин, но и количество дуг. При этом необходимо правильно распорядится весами дуг, по которым строится несколько дуг на вспомогательном графе. Серьезного осмысления каждый раз требует и перенос соответствующего результата с вспомогательного графа на основной граф.

В настоящей работе рассмотрены ориентированные графы с различными типами ограничений на достижимость и решаются задачи о случайных блужданиях, о кратчайших путях и о максимальном потоке на таких графах. В частности, введено четыре типа магнитной достижимости: на начальном и конечном отрезках пути с параметром , на отрезке и магнитная достижимость, возникающая после шагов. Описаны орграфы с монотонной достижимостью, которая является обобщением магнитной. Кроме того, рассмотрены динамические и периодические динамические графы, т.е. такие ориентированные графы, для которых вводится дискретное время и задается функция активности дуг – дуги на графе существуют не в любой момент времени, а только в свои промежутки активности. Ясно, что такие задачи могут рассматриваться как математические модели транспортных или информационных сетей, в которых в определенные моменты времени функционируют не все участки сети. Для каждого вида ограничений разработаны алгоритмы построения вспомогательного графа, что позволяет свести решение указанных выше задач на исходном графе к задачам на вспомогательном графе без ограничений на достижимость. Доказаны теоремы о взаимнооднозначном соответствии между исходным и вспомогательным графами. Применимость данных моделей к решению логистических задач делает данную работу актуальной.

Цели и задачи работы. Цель состоит в изучении графов с нестандартными достижимостями, разработке алгоритмов решения задач на таких графах, описании нового класса динамических графов, программной реализации полученных алгоритмов.

В работе рассмотрены и решены следующие задачи:

  1. Определены и исследованы новые виды достижимости на орграфах.
  2. Разработаны и описаны алгоритмы решения задач о кратчайших путях, случайном блуждании и максимальном потоке на графах с рассмотренными ограничениями на достижимость.
  3. Рассмотрен новый класс задач о максимальном потоке в периодической динамической сети.
  4. Для периодической динамической сети введены определения максимального динамического потока, исходящего из источника в момент времени , и максимального динамического потока из источника, приходящего в сток в момент времени и разработаны алгоритмы их нахождения.
  5. Полученные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ.

Методы диссертационного исследования основываются на использовании теории графов, теории вероятностей и теории случайных процессов.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором:

  1. Определены и изучены магнитная и монотонная достижимости с четырьмя видами ограничений: на начальном и конечном отрезках пути, ограничения, возникающие после шагов и на отрезке .
  2. Предложены алгоритмы построения вспомогательного графа для указанных ограничений на достижимость.
  3. Определен новый класс динамических графов, на которых некоторые дуги доступны для прохождения не в любой момент времени, а лишь в период их активности.
  4. Для описанных видов ограничений разработаны алгоритмы решения задач о кратчайших путях, максимальном потоке и случайных блужданиях.
  5. Построена математическая модель периодической динамической сети, введены понятия максимального динамического потока, исходящего из источника и приходящего в сток в фиксированные моменты времени и разработаны алгоритмы их нахождения.
  6. Алгоритмы, предложенные в работе, реализованы в виде комплекса программ, приведенного в приложении.

Практическая ценность работы состоит в том, что введенные и изученные новые виды достижимости на орграфах расширяют класс возможных приложений и могут быть использованы для исследования новых дискретных математических моделей. Периодические динамические графы могут быть использованы для моделирования процессов в транспортных и информационных сетях. На основании теоретических результатов диссертационной работы было создано программное обеспечение в среде программирования C++ Builder 6.0, реализующее разработанные алгоритмы.

Апробация работы.

  1. Результаты диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения XVIII» (г. Воронеж, 2007).
  2. По результатам работы сделан доклад на III всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (пос. Дивноморское, 2007).
  3. Сделан доклад на 5-й всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь XXI века – будущее российской науки» (г. Ростов-на-Дону, 2007).
  4. Результаты работы неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры алгебры и дискретной математики факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.
  5. Результаты работы вошли в отчеты по проектам «Нестандартная достижимость на ориентированных графах» (Грант конкурсного центра Минобразования РФ по разделу естественные науки, проект Е02-01-231) и «Графы и сети с нестандартной достижимостью» (Ведомственная программа Минобрнауки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы», подпрограмма №3, раздел 3.3.- поддержка исследований проводимых молодыми учеными, проект 7857).
  6. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 работ [1]-[7].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем основного текста диссертационной работы составляет 119 страниц, включая 47 рисунков, библиографический список изложен на 5 страницах и содержит 51 наименование, приложение содержит 16 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сделан обзор существующих видов нестандартной достижимости на ориентированных графах, сформулированы цели работы, выделена ее научная новизна и дана краткая аннотация всех глав диссертации.

В первой главе введено три типа нестандартной достижимости на ориентированных графах: ограниченные магнитные достижимости, ограниченные монотонные достижимости и периодические динамические графы.

Ограниченные магнитные достижимости. Рассматриваются ориентированные графы, множество дуг которых представляет собой объединение двух непустых непересекающихся подмножеств, которые называются множеством магнитных и множеством немагнитных дуг. Такие графы называются графами с магнитными ограничениями (или с магнитной достижимостью). Путь на таком графе является допустимым при выполнении условия: если предыдущая дуга пути была магнитной и есть исходящие магнитные дуги, то следующая дуга пути также должна быть магнитной.

В настоящей работе рассмотрены случаи, когда магнитные ограничения действуют не на всем протяжении пути, а лишь на некотором его отрезке. Такие достижимости названы ограниченными магнитными достижимостями. Рассмотрены три вида достижимостей – на начальном отрезке пути длины , на конечном отрезке пути длины , магнитная достижимость, возникающая после шагов и магнитная достижимость на отрезке натурального ряда . Соответствующие графы обозначаются , , и .

Ограниченные монотонные достижимости. Монотонная достижимость является обобщением магнитной достижимости на случай, когда множество дуг графа разбивается на попарно непересекающихся подмножеств . Путь на графе с монотонной достижимостью является допустимым, если подпоследовательность индексов дуг пути (не учитывая дуги множества ) не убывает (индекс дуги – номер подмножества дуг, которому она принадлежит).

Рассмотрено четыре типа монотонной достижимости: на начальном и конечном отрезках пути длины , монотонная достижимость, возникающая после шагов, и монотонная достижимость на отрезке . Графы с соответствующим типом достижимости обозначаются , , и . Сформулирована теорема о связи достижимости на графах и .

Периодические динамические графы. Для обыкновенных ориентированных графов вводится дискретное время , и рассматриваются динамические графы. Динамическим графом называется ориентированный граф вида , множество дуг которых представляет собой объединение двух непустых непересекающихся подмножеств, которые называются множеством обычных и множеством временных дуг, – функция активности. Временные дуги графа доступны для прохождения не в любой момент времени, а только в периоды активности. Путь на динамическом графе является допустимым, если все его дуги активны в момент прохождения их путем.

Пути на динамических графах, в отличие от путей на обыкновенных орграфах, не обладают, вообще говоря, свойством транзитивности. Сформулировано и доказано условие транзитивности пути на динамическом графе.

Теорема 1.4.1. Пусть – динамический граф, . Пусть – путь из вершины в вершину , – путь из вершины в вершину . Тогда для того, чтобы существовал путь из вершины в вершину , необходимо и достаточно выполнения условия .

Также рассмотрены периодические динамические графы , для дуг которых промежутки активности отличаются на некоторое натуральное число , называемое периодом.

Во второй главе описаны алгоритмы построения вспомогательных графов для графов с ограниченными магнитными, монотонными достижимостями и для периодических динамических графов. Построение вспомогательного графа является методом сведения достижимости на графах с ограничениями к достижимости на обыкновенных ориентированных графах. Вспомогательный граф имеет больше вершин и дуг, но его можно рассматривать как обычный орграф со стандартной достижимостью.

Для графов с ограниченными магнитными достижимостями доказаны теоремы о взаимнооднозначном соответствии между допустимыми путями на исходном графе с ограничениями и путями на вспомогательном графе:

Теорема 2.1.1. Пусть ­– граф с магнитной достижимостью, – граф, построенный по графу . На графе существует допустимый путь из вершины в вершину тогда, и только тогда, когда на графе существует путь из вершины в одну из вершин или .



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.