авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Математические модели и методы анализа волновых процессов в нелинейных средах

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Катсон Владимир Маркович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА

ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

05.13.18 – математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Саратов 2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО

Саратовский государственный технический университет

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Землянухин Александр Исаевич
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Крысько Вадим Анатольевич доктор физико-математических наук, профессор Андрейченко Дмитрий Константинович
Ведущая организация: Нижегородский филиал Института Машиноведения им. А.А. Благонравова РАН (г. Нижний Новгород)

Защита диссертации состоится «22» декабря 2010 г. в 13.00 на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 1, ауд. 414.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат размещён на сайте Саратовского государственного технического университета www.sstu.ru 22 ноября 2010 г.

Автореферат разослан « 22» ноября 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Терентьев А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время одним из основных феноменов в нелинейной динамике является существование устойчивых стационарных импульсов – «солитонов» в средах различной природы: от плазмы до деформируемых твердых тел.

В частности, первое экспериментальное наблюдение солитона в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе И. Рудника, Дж. И. Ву, С. Питермана (1987).

Ряд вопросов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек освещен в работах Л.И. Могилевича и А.И. Землянухина. Основные результаты получены для тонких цилиндрических оболочек Кирхгофа-Лява (гипотеза прямых нормалей) на основе интегрируемых уравнений.

Вместе с тем, нелинейные математические модели, приводящие к интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными. Уточнённые модели, учитывающие реальные факторы (неоднородность материала и диссипацию), часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. Единственным способом исследования такой системы является численный эксперимент.

Задачи численного моделирования распространения волн деформации в тонкой цилиндрической оболочке, но в одномерном случае были решены Е.И. Штейнбергом. Численные эксперименты в настоящей работе проводятся на двумерной сетке, что позволяет учитывать влияние пространственной неоднородности исследуемой системы на волновой процесс.



Многочисленные практические применения оболочечных конструкций в технике обусловливают актуальность данной работы.

Цель работы. Исследование математических моделей и методов анализа нелинейных волн в деформируемых системах, описываемых неинтегрируемыми уравнениями на основе теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява в двумерном случае с учётом диссипации, конструктивной неоднородности, геометрической и физической нелинейности.

Комплексный характер исследования приводит к необходимости решения следующих задач:

  • Вывод обобщенного эволюционного уравнения, моделирующего распространение продольных волн деформации в геометрически и физически нелинейной неоднородной цилиндрической оболочке с затуханием.
  • Нахождение классов точных решений полученного уравнения, включающих в себя солитоноподобные решения.
  • Численное моделирование выведенного уравнения и исследование эволюции импульсов различной формы, в том числе и двумерных.

Научная новизна работы. Получила дальнейшее развитие нелинейная волновая динамика цилиндрических оболочек, а именно:

  • Выведено новое обобщенное пространственно-двумерное нелинейное эволюционное уравнение, описывающее распространение продольных волн в пологих тонких цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява. От известных ранее моделей уравнение отличается одновременным учетом геометрической и физической нелинейности, потерь энергии и конструктивной неоднородности материала оболочки.
  • С помощью метода простейших уравнений для физически значимых редукций выведенного уравнения найдены классы точных солитоноподобных решений.
  • На основе проведенного сравнения основных численных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных показана целесообразность использования для уравнений 5-го порядка неявных псевдоспектральных схем. Такие схемы обладают лучшим, в рамках поставленной задачи, соотношением между скоростью и точностью вычислений. Необходимость выполнения большого числа вычислительных операций для расчета значений сеточной функции компенсируется в них устойчивостью, позволяющей делать большие шаги по времени.
  • Усовершенствован классический неявный псевдоспектральный метод, область его применимости расширена на уравнения, содержащие сложные нелинейные члены, например uuxxx или uxuxx.
  • Численно исследованы (на двумерной сетке) солитоноподобные решения выведенного уравнения и его частные случаи: явления распространения и упругого взаимодействия солитоноподобных волн, обнаружены ударно-волновые режимы и устойчивые крестообразные структуры, обнаружен устойчивый режим распространения волны с моделированным по амплитуде передним фронтом.
  • Разработан проблемно-ориентированный комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит:
  1. Программу (simpeq) для решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием систем компьютерной алгебры. Программа существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения.
  2. Программную оболочку (2D-soliton), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.

Достоверность результатов. Исследования проводились на основе численных методов, устойчивость и сходимость которых были теоретически обоснованы. Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается также совпадением результатов численного и аналитического исследования. Дополнительно точность численных вычислений проверялась вариацией временного шага.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с акустическими и неразрушающими методами диагностики состояния материалов. Результаты моделирования поведения уединенных волн могут быть использованы для передачи информации по акустическим волноводам.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на ежегодных Нижегородских акустических конференциях в Институте машиноведения им. А.А. Благонравова (Нижний Новгород, 2006), на Международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007), на Международной конференции «Advanced Problems in Mechanics 2008» (Санкт-Петербург, 2008), XXIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010), на XXII сессии Российского акустического общества и сессии научного совета РАН по акустике, на научном семинаре кафедры прикладной математики и теории навигационных приборов под руководством А.И. Землянухина.

На защиту выносятся cледующие основные результаты и положения работы:

  • Выведенное новое нелинейное уравнение в частных производных, описывающее волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно неодномерном случае с наличием диссипации.
  • Точные решения полученных неинтегрируемых (в смысле метода обратной задачи рассеяния) эволюционных уравнений и их частных случаев. В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности найдено солитоноподобное решение. Учет только геометрической нелинейности приводит к двум новым решениям: солитонному и сингулярному.
  • Результаты численного моделирования эволюции различных начальных импульсов в нелинейных средах. Бездиссипативный случай с физической нелинейностью в случае задания начального импульса в виде гауссова купола приводит к образованию крестообразных структур. Случай задания сдвоенного гауссова импульса в качестве начальных условий приводит к образованию устойчивого волнового фронта с поперечно-модулированной амплитудой. Учёт геометрической нелинейности приводит к образованию крестообразной структуры для однокупольного начального возмущения и прямого солитона в случае с двухкупольным начальным импульсом. Моделирование диссипативной редукции выведенного уравнения приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.
  • Точные солитоноподобные решения системы уравнений, описывающей продольные волны деформации в магнитоупругом стержне.
  • Комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит:
  1. Программу simpeq, которая существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения.
  2. Программную оболочку (2D-soliton), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 6 научных статьях (из них 4 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ) и учебном пособии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений и содержит 126 страниц текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность избранного направления исследований на основе теоретических, экспериментальных и прикладных работ. Сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость работы. Кратко изложено основное содержание диссертации. Каждая глава предваряется кратким обзором рассматриваемых проблем.

В главе 1 изложены основные современные аналитические методы, позволяющие точно решать нелинейные уравнения в частных производных: метод Хироты, метод гиперболических функций, метод сингулярного многообразия и метод функций перегиба. На основе проведенного анализа выбран метод простейших уравнений (Н.А. Кудряшов), как легко алгоритмизуемый и позволяющий находить решения более широкого класса. Описан и реализован алгоритм на основе системы компьютерной алгебры Maple. Приведён пример решения модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза (МКДВ) с помощью разработанной в диссертации программы simpeq.

Глава 2 посвящена обзору основных численных методов, применяющихся для решения нелинейных уравнений в частных производных. Выбраны конечно-разностные и спектральные методы, а также периодические граничные условия, адекватные эволюции финитных импульсов с конечной энергией и солитоноподобных возмущений. Приведён код алгоритма решения систем уравнений с циклической полосовой матрицей.

Для решения проблем устойчивости спектральных методов выбран метод Орзага.

Составлен явный спектральный алгоритм решения уравнения МКДВ и его аналог более высокого порядка

(1)




Предложен неявный псевдоспектральный метод, основанный на идее гибридизации точности спектральных методов и устойчивости неявных методов. На примере уравнения МКДВ показана процедура построения численного алгоритма, приводящего к решению на каждом шаге по времени системы нелинейных алгебраических уравнений, с помощью простой итерации. Показан механизм устойчивости данного алгоритма.

Предложен алгоритм, продолжающий идею гибридизации спектральных методов, распространяя этот подход на уравнения, содержащие члены, непредставимые в виде где - дифференциальный оператор, - константа. Метод назван «комбинированный псевдоспектральный метод». Идея метода состоит в том, что расчет таких сложных нелинейных членов производится явным образом в трехмерном пространстве. Показано его применение для численного решения уравнения:

. (2)

Показана устойчивость данного алгоритма.

В главе 3 исследована эволюция нелинейных продольных волн в геометрически и физически нелинейных цилиндрических оболочках на основе модели Кирхгофа-Лява. Рассматривается пологая оболочка. Уравнения движения элемента оболочки, записанные в перемещениях, имеют вид

где U,V,W – перемещения; E - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона; - удельный вес материала оболочки; g - ускорение свободного падения; h - толщина оболочки.

Эти уравнения содержат 5 малых параметров:

(3)

характеризующих соответственно нелинейность волнового процесса(), его дисперсию(), тонкостенность оболочки(), слабую угловую расходимость квазиплоской волны(), а также параметр 4, характеризующий «конструктивное демпфирование», то есть потери энергии.

Здесь А – характерный масштаб амплитуды возмущения; l – характерная длина волны; R – радиус кривизны оболочки; h – толщина оболочки. Рассматривается случай, когда возмущение распространяется с постоянной скоростью вдоль образующей оболочки, медленно меняет свои параметры во времени. Согласно методу многих масштабов, вводятся в рассмотрение разложения зависимых и независимых переменных по степеням малого параметра , соответствующие рассматриваемому случаю:

(4)

Здесь U,V,W – безразмерные перемещения точек срединной поверхности в направлениях x,y,z соответственно; С – неизвестная «базовая» скорость возмущения, значение которой определяется в результате первого шага метода многих масштабов.

Исследуется случай, когда параметры нелинейности, дисперсии и тонкостенности имеют одинаковый порядок малости

(5)

В итоге выведено уравнение, описывающее распространение волн продольной компоненты деформации в упругой геометрически и физически нелинейной оболочке

(6)

Уравнение (6) имеет достаточно сложную аналитическую структуру, что затрудняет построение его точных решений в общем случае. Далее рассматриваются характерные частные случаи этого уравнения, на основе анализа которых делается вывод о существовании двумерных и одномерных уединённых волн и исходном уравнении.

В отсутствие затухания и физической нелинейности уравнение (6) приводится к виду:

(7)

Методом простейших уравнений с помощью разработанной программы simpeq получено 2 точных решения: уединенно-волновое

 (8) и сингулярное (9) -19 (8)

и сингулярное

 (9) График решения (12) при. Слева-20 (9)

 График решения (12) при. Слева –-21

Рис. 1. График решения (12) при . Слева сингулярное решение, справа - непрерывное, реализующееся при

Сингулярное решение (9) (рис.1 слева) не имеет физического смысла в общем случае, оно лишь формально является решением уравнения (7). Однако, когда , решение (9) (рис.1 справа) переходит в солитоноподобное решение. Случай (8) демонстрирует физичное солитоноподобное решение уравнения (7).

В случае отсутствия затухания и в условиях, когда физическая нелинейность преобладает над геометрической (особенность материала оболочки), после замены переменных уравнение (6) принимает вид:

. (10)

С помощью программы simpeq получено его точное уединённо-волновое решение:

(11)


Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.