авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 | 3 |

Разработка и исследование численных схем высокого порядка точности для решения уравнений газовой динамики на неструктурированных сетках

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Ляпунов Сергей Владимирович

Разработка и Исследование ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАвнений газовой динамики НА неструктурированных сетках

05.13.18. – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени доктора

физико-математических наук

Москва – 2008

Работа выполнена в Федеральном государственном унитарном предприятии Центральном Аэрогидродинамическом институте им. проф. Н.Е. Жуковского (ФГУП ЦАГИ)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Крайко Александр Николаевич,

доктор физико-математических наук,

профессор Хлопков Юрий Иванович

доктор технических наук,

доцент Босняков Сергей Михайлович

Ведущая организация – Вычислительный центр РАН (ВЦ РАН, Москва)

Защита диссертации состоится 26 июня в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 215.001.01 в Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е.Жуковского по адресу 125190, г.Москва, ул.Планетная, д.3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е.Жуковского

Автореферат разослан 2008 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 215.001.01

Кандидат физико-математических наук

А.С.Ненашев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время все больший объем информации о течениях жидкостей и газов и силах, действующих на движущиеся в них тела и ограничивающие поверхности, получается с использованием методов вычислительной аэродинамики – численных методов решения систем уравнений Эйлера и Навье-Стокса. Применение этих методов позволяет сократить объем промышленных экспериментальных исследований, лучше понять физические особенности течений и, в ряде случаев, позволяет получить информацию, которую крайне сложно, а порой и невозможно, получить в эксперименте. Главенствующее место среди численных методов занимают сеточные методы, основанные на дискретной аппроксимации уравнений газовой динамики.

Основным требованием, предъявляемым к таким сеточным методам, является, прежде всего, обеспечение высокой точности (малой численной ошибки) получаемых результатов при минимально необходимых ресурсах ЭВМ (времени и объеме памяти). Кроме того, желательно максимально автоматизировать процесс генерации вычислительной сетки, обеспечить возможность генерации сетки вокруг объектов сложной геометрии, обеспечить точное описание («разрешить») особенности течений (скачки уплотнения, пограничные слои, отрывные зоны и т.п.), устойчивую сходимость к решению для максимально возможного числа случаев обтекания (робастность).

Перспективными подходами к построению численных методов, удовлетворяющих перечисленным требованиям, являются применение неструктурированных вычислительных сеток, численных схем высокого порядка точности, адаптация сетки и численной схемы к решению. В настоящей диссертационной работе предложены и исследованы методы адаптации неструктурированных сеток и локальной адаптации порядка точности численного метода к решению на базе метода конечного элемента Галеркина с разрывными функциями. Впервые этот метод был предложен в работе (Reed, Hill 1973) для решения уравнения переноса нейтронов. Дальнейшие многочисленные исследования были посвящены анализу математических аспектов метода, таких как скорость сходимости и пр. (LeSaint, Raviart, 1974, Johnson, Pitkaranta, 1986), а также развитию метода (Cockburn, Shu, 1989, Cockburn, Lin, Shu, 1989, Cockburn, Hou, Shu, 1990, Cockburn, Shu, 1998), (Bassi, Rebay 1997), (Warburton, Lomtev, Kirby, Karniadakis 1998, Lomtev, Karniadakis 1997).



Преимущества метода Галеркина с разрывными функциями заключаются в следующем.

  • Данный метод легко адаптируется к неструктурированным сеткам и, следовательно, удобен для работы с областями сложной геометрии.
  • Порядок точности метода зависит от максимальной степени полиномов базисных функций, использующихся для аппроксимации численного решения. Метод может быть сформулирован формальным образом для произвольного порядка точности на гладких решениях путем расширения подпространства базисных функций и увеличения максимального порядка полиномов.
  • Метод обладает большой гибкостью, поскольку порядок базисных функций может меняться от элемента к элементу, что важно с точки зрения адаптации метода к решению.

Таким образом, актуальность работы определяется потребностью создания высокоэффективных численных методов решения уравнений газовой динамики, позволяющих получать решение задач обтекания конфигураций сложной геометрии с высокой точностью при минимальных затратах памяти и времени работы ЭВМ.

Практическая значимость работы состоит в разработке принципов адаптации неструктурированных сеток и порядка точности численной схемы к решению. Проведены методические исследования, включающие решения модельных задач, уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса, демонстрирующие эффективность данных подходов с точки зрения повышения точности численных решений. Разработана научно-методическая основа для реализации предложенных подходов в промышленных программах решения уравнений газовой динамики.

Цель диссертационной работы состоит в теоретической и методической разработке методов ускорения расчета и повышения точности результатов численного решения уравнений газовой динамики – уравнений Эйлера (невязкий случай) и уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса (вязкий случай) путем адаптации не только неструктурированной расчетной сетки, но и локального порядка точности численной схемы. Данные подходы основаны на модификации метода Галеркина с разрывными функциями (DG – Discontinuous Galerkin в англоязычной литературе), который является комбинацией метода конечного элемента и метода конечного объема типа метода Годунова. Особое внимание уделяется анализу порядка точности получаемых схем, выявлению их преимуществ по сравнению со стандартными схемами типа Годунова. Подробно рассмотрены возможности, которые обеспечивает схема DG с точки зрения адаптации к решению на неструктурированных сетках. Приведены результаты исследований на примерах одномерных и двумерных задач. Выбор этих задач в значительной степени обусловлен интересом к анализу порядка ошибки численного решения, что требует знания точного решения.

Общая методика выполнения исследований состоит в

  • аналитической формулировке численной схемы решения различных законов сохранения, включая уравнения Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса на базе варианта метода конечного элемента – метода Галеркина с разрывными функциями, обеспечивающего произвольный порядок точности численной схемы,
  • разработке вычислительных программ, реализующих этот численный метод для различных задач с использованием неструктурированных разностных сеток и процедур адаптации сеток к решению,
  • анализе порядков точности метода на примерах тестовых задач и решений уравнений газовой динамики,
  • выявлении положительных особенностей метода с точки зрения адаптации схемы к решению путем адаптации вычислительной сетки (h-refinement) или порядка точности схемы (p-refinement).

Научная новизна работы заключается в разработке и исследовании новых подходов к созданию эффективных численных схем решения уравнений газовой динамики, в том числе на неструктурированных сетках, обеспечивающих высокую точность решения при умеренных затратах ресурсов ЭВМ и широкие возможности адаптации к решению, не только путем адаптации сетки, но и путем локального изменения порядка точности численной схемы.

Автор защищает следующие результаты:

  1. Принципы построения численных схем решения законов сохранения, в частности, уравнений газовой динамики (уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса), обеспечивающих уменьшение времени расчета и повышение точности результатов, по сравнению с классическими методами типа метода Годунова, путем различных способов адаптации неструктурированной сетки и локального порядка точности разностной схемы к решению на базе численной схемы конечного элемента – метода Галеркина с разрывными функциями.
  2. Результаты исследований предлагаемых подходов к адаптации, представляющих научно-методический базис для реализации разработанных подходов в промышленных программах решения уравнений газовой динамики.

Практическая ценность и реализация работы. Предлагаемые в диссертации способы повышения эффективности численных методов решения уравнений газовой динамики апробированы на модельных задачах и доведены до стадии начала промышленной реализации. Ряд подходов реализован в виде вычислительных программ, которые используются для проведения расчетных исследований обтекания различных элементов самолетов (крыловые профили, взлетно-посадочная механизация) при выполнении НИР ЦАГИ по контрактам с Роспромом и при проведении инициативных исследований.

Апробация работы. Методы прошли тщательное тестирование путем сравнения результатов расчетов с имеющимися точными решениями и результатами других авторов. Результаты проведенных исследований позволили сделать ряд выводов относительно возможности реализации высокого порядка точности на гладких решениях, особенностей применения рассматриваемого подхода для тел с криволинейной границей, возможностей адаптации схемы к решению путем модификации расчетной сетки, локального изменения порядка схемы или модификации системы базисных функций. Автор полагает, что рассмотренные подходы могут послужить основой для разработки эффективных численных методов и промышленных программ расчета вязких трехмерных течений около тел сложной геометрии.

Основные результаты проведенного автором исследования содержатся в 31 публикациях, опубликованных в российских научных изданиях и за рубежом, а также докладывались на международных и российских научно-технических конференциях, в том числе, на 6-ой международной конференции по генерации сеток для вычислительной аэродинамики (1998), 16-м Конгрессе Международной ассоциации математического и компьютерного моделирования IMACS (2000), 3-ей Европейской конференции по механике жидкости EUROMECH (1997), 5-ой Российско-Китайской конференции по аэродинамике и механике полета (1997), Международных Конгрессах по авиационным наукам ICAS (1990, 1992, 1996), школах-семинарах «Аэродинамика летательных аппаратов (1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007), Международной конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники (2000), франко-российском семинаре ONERA-ЦАГИ (2002) и др.

В данную диссертацию включены исследования, поддержанные РФФИ (Проекты № 98-01-00032-а, 1998, №00-01-00070-а, 2000, №02-01-00124-а, 2002, №03-01-00236-а, 2003, №06-01-00283-а, 2006).

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 93 наименования. Общий объем – 127 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении изложены общие подходы, используемые в вычислительной аэродинамике, требования к вычислительным сеткам и принципам построения схем дискретизации законов сохранения. Приведен обзор преимуществ и недостатков неструктурированных сеток, схем высокого порядка точности, отмечена необходимость адаптации сетки и схемы к решению. Дан анализ подходов к построению численных схем на основе метода конечного объема и метода конечного элемента. Кратко описано место метода Галеркина с разрывными функциями среди других численных схем, как способа получения схем произвольного порядка точности, в том числе на неструктурированных сетках. Сформулирована цель диссертационной работы и приведена краткая аннотация ее глав.

В Главе I рассмотрена общая теория метода Галеркина с разрывными функциями (DG) для численного решения одномерных законов сохранения. Метод представляет собой симбиоз метода конечного элемента и конечного объема. Метод применен к решению модельных задач для одномерных уравнений конвекции, теплопроводности и уравнения Бюргерса с вязкостью. Данные примеры являются простейшими моделями конвективных, вязких членов уравнений газовой динамики, разрывных решений. Основное внимание уделено анализу порядка ошибки численного решения.





В § 1.1 рассмотрена общая теория метода Галеркина с разрывными функциями применительно к решению одномерных законов сохранения. Конкретно рассматривается следующая задача определения функции u с начальным условием и периодическими граничными условиями для одномерного уравнения конвекции-диффузии с произвольной функцией невязкого потока f(u)

в области Q= (0,1) (0,T),

Здесь - постоянный коэффициент диффузии.

Это уравнение второго порядка сводится к системе уравнений первого порядка. Данная система уравнений приводится к полудискретной системе обыкновенных дифференциальных уравнений путем умножения на базисные функции в каждом элементе (отрезке сетки) и интегрирования по элементу по частям (метод Галеркина). Базисными функциями являются полиномы Лежандра внутри каждого элемента. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений по времени решалась с помощью метода Рунге-Кутта. Рассмотрены различные способы аппроксимации невязкого и вязкого потоков на границах элементов, где численное решение является разрывным. Рассмотренные способы приводят к схемам, как с центральными разностями, так и со смещенными разностями. В последующих параграфах рассмотрены результаты решения конкретных модельных задач и оценка порядка ошибки численного решения. Критерием выбора модельных задач являлось моделирование определенных свойств уравнений газовой динамики (конвекция, вязкость, разрывы решения) и наличие точного решения, что было важным условием для анализа порядка точности решения.

В §1.2 рассмотрено численное решение одномерного уравнения конвекции с начальным условием в виде П-образного импульса. Точное решение соответствует перемещению этого импульса с единичной скоростью без изменения его формы. Результаты расчетов показывают, что диссипативность схемы уменьшается с увеличением порядка полиномов, а точность решения повышается, что демонстрирует преимущества применения численных схем высокого порядка точности.

На примере задачи для того же одномерного уравнения конвекции с гладким начальным условием были проведены исследования порядка ошибки численного решения в С-норме (модуль максимальной разницы между численным и точным решениями). Порядком ошибки называется величина N в асимптотической оценке ошибки Err=O(hN), где h-шаг сетки. Эти исследования показали, что порядок ошибки близок к k+1, т.е. при кусочно-постоянной аппроксимации численного решения (k = 0) получаем схему первого порядка точности, при кусочно-линейной аппроксимации (k=1) – второго порядка и т.д. Эти же результаты свидетельствуют о возможности получения схемы произвольного порядка точности в рамках единообразного подхода.

В §1.3 приведены результаты аналогичных исследований для одномерного уравнения теплопроводности вида с тем же выводом – порядок численной ошибки близок к k+1. Здесь же приведены особенности аппроксимации вязких членов в рамках схемы Галеркина с разрывными функциями.

В §1.4 приведен анализ решения одномерного уравнения Бюргерса с вязкостью . Это уравнение при нулевом коэффициенте вязкости дает разрывное решение при гладких начальных условиях и может моделировать решения со скачками уплотнения в газовой динамике. И в этом случае порядок ошибки равен k+1 вне области разрыва решения.

В Главе II рассматриваются вопросы применения схемы DG к решению модельной линейной двумерной задачи конвекции-диффузии, моделирующей криволинейный слой смешения в вязкой жидкости. Проведен анализ порядка ошибки численного решения, показаны преимущества схем высокого порядка точности, продемонстрированы дополнительные возможности, которые обеспечивает схема DG в результате локального выбора базисных функций.

В §2.1 приведена постановка модельной задачи решения линейного уравнения конвекции-диффузии вида в единичном квадрате с разрывным условием вблизи левой границы квадрата. На границах квадрата, где течение «втекало» в область решения (вектор (1, направлен внутрь области), использовались граничные условия для решения, соответствующие аналитическому решению. Аналитическое решение приведено на рис.1, где красному цвету соответствует значение решения +1, а синему – значение -1. Решение содержит криволинейный слой смешения, форма которого определяется выбором функции f(x), с переходом решения от -1 к +1. Ширина слоя определяется величиной коэффициента вязкости . С точки зрения газовой динамики эта задача моделирует развитие вязкого следа за профилем. Численная схема Галеркина с разрывными функциями применялась на неструктурированной сетке из треугольников, которая, на начальном этапе представляла собой триангуляцию структурированной сетки, как показано на рис.1.

Рис.1. Точное решение модельной задачи для двумерного уравнения конвекции-диффузии и расчетная сетка.

Общая теория построения дискретной схемы аппроксимации данного двумерного уравнения с помощью метода Галеркина с разрывными функциями приведена в §2.2. Результирующие уравнения представляют собой систему линейных уравнений с блочной разреженной, вообще говоря, неструктурированной матрицей. Эта система уравнений решалась с помощью обобщенного метода минимальных невязок GMRES с предобуславливателем в виде неполного LU разложения, описанного в §2.3.

В §2.4 приведены результаты численных исследований. На рис.2 представлены в логарифмическом масштабе зависимости ошибки численного решения в норме L2 (средняя интегральная ошибка) и в норме С (максимальная ошибка) уравнения конвекции-диффузии в зависимости от числа степеней свободы (неизвестных переменных) при расчетах на разных сетках. Приведены кривые для различных порядков k полиномиальных базисных функций (отмеченные на рис. как DG(k)). Эти зависимости иллюстрируют одно из преимуществ схем высокого порядка точности, а именно, начиная с некоторого числа переменных, схема высокого порядка точности будет давать меньшую ошибку, чем схема низшего порядка. Анализ порядка ошибки, который равен удвоенному тангенсу угла наклона приведенных зависимостей, показал, что он (порядок) близок к k+1.

Рис. 2. Зависимости ошибок численного решения двумерного уравнения конвекции-диффузии от числа степеней свободы при различных порядках k полиномов базисных функций.



Pages:   || 2 | 3 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.