авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Прикладное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение компьютерного анализа гибридных систем

-- [ Страница 3 ] --

Критерием эффективности является количество шагов моделирования режимов ГС в ИСМА и Simulink. Из результатов вычислительных экспериментов следует, что эффективность разработанного адаптивного алгоритма в системе ИСМА в 5-10 раз выше, чем в лучших мировых инструментах анализа жестких режимов ГС. Интерес к многостадийным схемам вызван повышенной точностью и возможностью расширения интервала устойчивости.

Рассмотрим 13-стадийную схему Рунге-Кутты-Фельберга

(9)

с известными праметрами .

При известных значениях коэффициентов схема (9) имеет соответственно седьмой и восьмой порядок точности. Локальную ошибку метода седьмого порядка можно оценить с учетом (6) по формуле

(10)

В результате для контроля точности вычислений применяется неравенство где – некоторая норма в , – требуемая точность расчетов.

Построим неравенство для контроля устойчивости. Вычислим первые три стадии , и схемы (9) применительно к линейной задаче с постоянной матрицей . С учетом известных коэффициентов при получим

, , .

После несложных преобразований имеем

Теперь оценку максимального собственного числа матрицы Якоби можно вычислить степенным методом в соответствии с (7) по формуле:

(11)

Тогда для контроля устойчивости можно применять неравенство .

Области устойчивости методов, построенные средствами ИСМА, приведены на рис. 1, откуда видно, что интервал устойчивости метода седьмого и восьмого порядка приблизительно равен пяти. Поэтому положим в неравенстве (7) для контроля устойчивости .

 

Рис. 1. Область устойчивости метода (9) седьмого порядка (слева) и восьмого порядка (справа)

На основе стадий численной схемы (9) построен метод первого порядка точности с более широкой областью устойчивости. Область устойчивости построенного метода первого порядка точности по вещественной оси примерно в 18 раз шире () области устойчивости численной схемы (9) восьмого порядка. Кроме того, метод первого порядка по числу вычислений правой части задачи (2) почти в два раза дешевле. Поэтому для задач, в которых шаг ограничен в основном по устойчивости, предполагается теоретическое повышение эффективности в 36 раз.

Построен метод переменного порядка и шага RKF78STP с контролем устойчивости. В качестве критерия переключения с метода высокого порядка на метод первого порядка используется неравенство (7). При расчетах по методу высокого порядка переход на метод первого порядка осуществляется при нарушении неравенства . Обратный переход происходит в случае выполнения условия .

Для конструктивного доказательства эффективности RKF78STP рассмотрены задачи из приложения с примерами жестких режимов ГС. Результаты расчетов сведены в табл. 2, где в качестве критерия эффективности приведено суммарное число вычислений правой части.

Таблица 2

Сравнение результатов с контролем устойчивости

RKF78 RKF78ST RKF78STP
2 564907 305709 59630
3 28859 16454 4403
4 944229 497836 18394
5 244898 131827 12696
6 191313 59281 19313


Расчеты проводились с задаваемой точностью . Из сравнения результатов следует, что контроль устойчивости (RKF78ST) приводит к повышению эффективности расчетов почти в 2 раза по сравнению с классической схемой седьмого порядка точности (RKF78), а введение переменного порядка метода с контролем устойчивости (RKF78STP) позволяет увеличить эффективность в 5-10 раз.

Использование неравенства для контроля устойчивости фактически не приводит к увеличению вычислительных затрат, поскольку оценка максимального собственного числа матрицы Якоби системы (2) осуществляется через заранее вычисленные стадии и не приводит к росту числа вычислений правой части. Применение на участке установления методов низкого порядка точности с расширенными областями устойчивости позволяет значительно увеличить размер шага интегрирования без увеличения вычислительных затрат. На переходных участках, где определяющую роль играет точность вычислений, эффективными являются методы более высокого порядка точности, но с небольшой областью устойчивости.

Также в библиотеку методов ПК ИСМА включен 13-стадийный метод Дорманда-Принса с контролем устойчивости (DP78ST). Оригинальный метод Дорманда-Принса с контролем точности получил широкое распространение и включен в библиотеки известных зарубежных (MATLAB/Sfateflow, HyVisual.) и отечественных (MVS, AnyLogic) инструментальных средств моделирования ГС.

Классический метод Дорманда-Принса является явным методом типа Рунге-Кутты, основанным на 13-ти стадийной численной формуле (9) с известными константами , , , . В работе приводятся коэффициенты , , схемы (9), при которых метод имеет соответственно седьмой и восьмой порядок точности. Тогда для контроля точности схемы восьмого порядка можно использовать оценку (10). Аналогично (11) получено выражение

, (12)

которое определяет оценку максимального собственного числа матрицы Якоби метода Дорманда-Принса (DP78ST). Тогда для контроля устойчивости метода DP78ST можно применять неравенство (7).

Поскольку и в рассмотренном методе FEL78ST, и в методе DP78ST используется 13-стадийная численная схема (9), то области устойчивости для методов одинаковых порядков точности будут также одинаковыми с интервалом устойчивости, равным пяти. Поэтому выбор шага в методе DP78ST будет отличаться только оценкой максимального собственного числа (12).

Из сравнения результатов расчетов, приведенных в диссертации, следует, что контроль устойчивости в DP78ST приводит к повышению эффективности расчетов почти в 2 раза по сравнению с классической схемой и не уступает лучшим мировым аналогам, например методу DVERK78 системы Maple 9.5.

В пятой главе рассмотрены вопросы корректного обнаружения событий. Большинство гибридных симуляторов разделяют задачу фазу обнаружения, за которой следует фаза локализации. В этих симуляторах фаза обнаружения заключается в проверке истинности выражения . Если результат ложь, происходит численное интегрирование дифференциальных уравнений на один шаг вперед. Эта процедура повторяется, пока не произойдёт шаг, на котором будет истинно. В этой точке считается, что событие произошло на полуинтервале . Некоторые системы после этого активизируют фазу локализации для более точного определения результата, а некоторые просто принимают, что событие произошло в момент . Фаза локализации обычно основана на методе дихотомии или алгоритмах, анализ которых приведен в настоящей главе. Как только событие локализовано, интегратор останавливается и происходит переход в новое локальное состояние. Хотя этот базовый метод зарекомендовал себя хорошо для многих задач, существуют ситуации, когда он склонен к сбоям (рис. 2).

Рис. 2. Нетривиальные ситуации обнаружения событий

Первый вариант, когда граница режима ГС пересекается так, что событийная функция имеет несколько корней на полуинтервале . Похожая ситуация возникает когда множество значений событийной функции тонкое или имеет острые углы. В обеих ситуациях большинство стандартных методов могут дать сбой.

В своих работах L.F. Shampine и C.W. Gear продемонстрировали неэффективность, которая возникает если не использовать специальные методы управления шагом в задаче обнаружения событий. J.M. Esposito и V. Kumar предложили алгоритм управления шагом. Однако, в предложенном алгоритме при выборе шага, которым управляется процесс асимптотического приближения решения к границе режима, не учитывается критерий устойчивости методов численного интегрирования, что существенно важно в ГС с жесткими режимами.

Рассмотрим режим односторонней ГС в виде автономной задачи Коши с ограничениями

.

Решение будем определять явными методами, которые в векторной форме записываются в виде , где – очередной шаг интегрирования, – заданная гладкая -мерная вектор-функция, зависящая от правой части задачи (2).

Теорема. Выбор шага по формуле

, (13)

где , обеспечивает поведение событийной динамики как устойчивой линейной системы, которая асимптотически приближается к границе режима . Кроме того, если , то для всех .

Рассмотрим явный двухстадийный метод Рунге-Кутты с постоянным шагом

(14)

При коэффициенты метода определяются однозначно, а неравенство для контроля точности вычислений имеет вид , где – некоторая норма в , – требуемая точность интегрирования. Тогда согласно (7) оценку максимального собственного числа матрицы Якоби системы (14) можно вычислить по формуле

.

Область устойчивости метода второго порядка, полученная в инструментальной среде ИСМА, приведена на рис. 3.

Рис. 3. Область устойчивости метода второго порядка

Интервал устойчивости численной схемы (14) приблизительно равен двум. Поэтому для контроля устойчивости можно применять неравенство . В результате прогнозируемый шаг с учетом точности и устойчивости для метода второго порядка в соответствии с (8) вычисляется по формуле

. (15)

Построен алгоритм выбора шага с учетом точности, устойчивости и динамики событийной функции в соответствии с (13) – (15).





Для иллюстрации работы алгоритма рассмотрена типичная гибридная система двух осциллирующих масс на пружинах. Система может находиться в одном из двух локальных состояний: «Раздельно» и «Вместе». Поведение системы в каждом из состояний описывается системой алгебро-дифференциальных уравнений типа (3).

При условии имеем:

(16)

При условии :

(17)

где , – массы грузов; , – жесткости пружин; , – нейтральные координаты грузов; , – координаты грузов; , – скорости грузов; , – ускорения грузов, – общая жесткость пружин в состоянии «Вместе».

Результаты анализа в ИСМА с разработанным алгоритмом обнаружения (рис. 4, справа) совпадают с результатами приведенной в работе эталонной модели в системе HyVisual. Традиционный анализ системы без алгоритма обнаружения приводит к некачественным результатам (рис. 4, слева).

Рис.4. Динамика ГС двух масс

В шестой главе исследуются вопросы системного наполнения инструментальных средств и вопросы реализации системного и математического обеспечения. Исходя из сформулированных требований для реализации программного комплекса, разработана архитектура ПК ИСМА, представленная на рис. 5.

Рис. 5. Архитектура ПК ИСМА

Библиотеки численных методов и графических примитивов реализуются в виде отдельных программных модулей и загружаются соответствующими загрузчиками во время выполнения программы. Такой подход позволяет выделить некоторый набор функций и классов, необходимых для реализации библиотек примитивов и численных методов в виде API. Благодаря этому появляется возможность унификации и расширяемости системы ИСМА новыми методами и примитивами без перекомпиляции всей системы.

Структурно-символьная спецификация использует структурный и символьный подходы при описании ГС. Визуальное структурирование ГС отвечает традиционным требованиям описания, принятого в инженерной практике, а дополнение структур символьным описанием расширяет класс описываемых систем.

Программная модель на языке LISMA рассмотренной ГС двух масс

k1=1; k2=2; // жесткости пружин

n1=1; n2=2; // нейтральные координаты тел

m1=1; m2=1; // массы тел

x1=0;x2=3; // начальные координаты

separate[s<abs(k1*n1-k2*n2-x1*(k1-k2))]is

s~=10;

x1'=v1;

v1'=k1*(n1-x1)/m1;

a1~=k1*(n1-x1)/m1;

x2'=v2;

v2'=k2*(n2-x2)/m2;

a2~=k2*(n2-x2)/m2;

from;

together [ (x1>=x2) and (v1>=v2) ] is

s=10;

v1=(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2);

v2=v1;

v1'=(k1*n1+k2*n2-x1*(k1+k2))/(m1+m2);

a1~=(k1*n1+k2*n2-x1*(k1+k2))/(m1+m2);

x1'=v1;

v2'=(k1*n1+k2*n2-x2*(k1+k2))/(m1+m2);

a2~=(k1*n1+k2*n2-x2*(k1+k2))/(m1+m2);

x2'=v2;

s'=-s;

from separate;

разработана в соответствии с (16), (17).

С учетом (4), условия пребывания ГС в локальном состоянии с поведением , , определяются предикатами . Переход из текущего состояния в новое с непрерывным поведением , , определяется отрицанием . Тогда условия перехода из локального состояния i в состояние j будут определяться новым предикатом

.

По аналогии с теорией графов пару поведений будем называть смежными поведениями ГС, если для них , . Если рассматривать непустое множество поведений как вершины, а непустое множество предикатов как множество ориентированных дуг, соединяющих смежные вершины , то орграф называется диаграммой Харела. Рассмотрим формирование матрицы переходов на примере ГС двух масс. Множество предикатов для данной задачи определяется с учетом (16), (17). Сгенерированная матрица переходов принимает вид как показано в табл.3.

Таблица 3

Матрица переходов

Состояния init separate together
init false false false
separate pr1 false pr1
together false pr2 false


Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.