Математическое моделирование, оценка и выбор многопериодных инвестиционных проектов в условиях риска.
- построить ФП ЛПР:
,
,
;
- разработать метод оценки траектории
МИП (расчета
);
- определить процедуру
расчета ОС МИП;
- определить распределения
,
,
,
.
Пусть далее x – один из рассмотренных выше критериев ( или
, или
). Восстановление ФП на критерии x осуществляется с использованием известных методов, основанных на интервальных оценках предпочтений ЛПР, представляемых областями
расположения детерминированных эквивалентов
лотерей
,
с неопределенным выигрышем
. На основе анализа множества
лотерей устанавливается параметрическое семейство U ФП, зависящее от вектора параметров
, то есть проводится структурная идентификация ФП. Параметрическая идентификация ФП
осуществляется с использованием метода наименьших квадратов, что формализуется в виде задачи условной оптимизации
,
где – ожидаемая полезность лотереи
, m – число лотерей.
Двухкритериальная ФП представляется в аддитивной форме
,
в предположении о независимости по полезности критериев x и y, где – шкалирующие константы,
,
– условные однокритериальные ФП. Для задачи (2)
, а для задачи (3)
.
Траектория МИП оценивается при помощи разработанного метода компенсации, учитывающего выходы траектории за границы . Пусть далее
– траектория (реализация случайного процесса
), описывающая динамику капитализации исхода МИП,
и
– отклонения от границ
,
– упущенный капитал в момент времени t. Соответственно
– дополнительный капитал. Непрерывные множества таких моментов есть негативный
и позитивный
периоды реализации МИП (рис. 2), а
– множество негативных и
– множество позитивных периодов на
.
Рис. 2
Тогда совокупный упущенный капитал в период
равен
,
а совокупный дополнительный капитал в период
.
Оба показателя представляют собой оценку траектории МИП в период и
соответственно. Компенсация
при помощи
осуществляется с использованием операции дисконтирования. Объем
совокупного капитала, предназначенного для компенсации, определяется соотношениями
,
,
,
где – дисконтированный к моменту времени
капитал, полученный в момент t,
,
– норма дисконта между моментами
и t,
– плотность распределения нормы дисконта.
Величина рассчитывается по формуле сложных процентов
,
где коэффициент дисконтирования в момент времени l определяется с использованием уравнения Фишера
,
где – кредитная процентная ставка, а
– уровень инфляции.
В случае обратного расположения периодов и
на временной оси компенсация осуществляется с использованием операции наращения:
,
,
,
где – наращенный к моменту времени t капитал, момента
.
Компенсация символически представляется в виде следующих соотношений:
,
,
где – остаточный упущенный капитал компенсируемого периода
, а
– остаточный дополнительный капитал компенсирующего периода
. Если в результате компенсации
, то
(рис. 3), если
, то
.
Компенсация завершается, когда или
. В итоге формируется траектория
с выходами только за одну из границ
, либо полностью лежащая в его рамках.
Рис. 3
Для корректного сравнения МИП остаточный или упущенный капитал траектории каждого МИП дисконтируется к начальному моменту времени. В итоге оценка
траектории МИП равна
где ,
.
Критерий положительно ориентирован и представляет собой денежную оценку расположения траектории МИП относительно
. Важно отметить, что по своему смыслу он близок к критерию ОС, что делает его понятным для ЛПР, в той степени, при которой становится возможным выявить его предпочтения на данном показателе.
Определить распределения ,
,
,
, а также
аналитически не представляется возможным. В этих условиях решение задач (2), (3), (4) осуществляется с использованием имитационного моделирования (ИМ). Модель реализации каждого МИП описывается парой
, где
– расчетный метод ОС МИП, а
– совокупность вероятностных моделей параметров инвестиционной среды, обуславливающих исход МИП. Примером такого метода может служить следующий известный подход:
(5)
где параметрами среды являются: – процентная ставка для дополняющих инвестиций;
– ставка для дополняющих заимствований на период
.
Динамика среды представляется векторным процессом с независимыми компонентами в предположении, что каждый процесс
стационарен и описывается моделью
грубых ошибок с плотностью:
, (6)
где – плотность усеченного нормального распределения с математическим ожиданием
и дисперсией
,
– плотность равномерного распределения на отрезке
или
, если
, а
– вероятность того, что реализация величины
принадлежит равномерному закону
. Параметры
оцениваются с использованием критериев математической статистики на основе статистических данных.
Процесс решения задач (2 – 4) представим следующим образом:
,
здесь S – совокупность статистических данных; ,
– множество выбранных ЛПР расчетных моделей ОС МИП;
– процедура параметрической идентификации распределения (6);
– совокупность вероятностных моделей параметров инвестиционной среды;
– множество сгенерированных реализаций инвестиционной среды; Q – алгоритм оценки траектории МИП; Y – алгоритм поиска обеспечиваемого МИП уровня изъятий;
– процедура поиска оптимального портфеля МИП;
,
,
– выборочные распределения ОС, оценки траектории МИП и обеспечиваемого уровня изъятий соответственно;
– оценки ожидаемых полезностей на m имитациях. Число имитаций для задач (2), (3) определяется известными статистическими методами. Для задачи (4) предложен метод последовательного наращения числа имитаций до достижения устойчивого решения.
В данной главе также предложены алгоритмы проверки допустимости использования модели (6) для ОС МИП по информации о распределениях , путем формирования с использованием ИМ набора двумерных сеток, содержащих допустимые значения параметров
, при которых распределение ОС может быть описано моделью (6).
Третья глава посвящена экспериментально-вычислительным аспектам и содержит описание разработанного комплекса программ (КП), метода генерирования вариантов исходного множества инвестиционных альтернатив, а также описание условий и процесса проводимых вычислительных экспериментов, анализ полученных результатов.
КП включает в себя пользовательский интерфейс, базу методов расчета ОС МИП, базу статистических данных и функциональные модули, решающие следующие задачи: восстановление ФП ЛПР; имитационное моделирование, расчет и оценку траекторий МИП; выбор МИП с позиций ОС; выбор МИП с позиций обеспечиваемого уровня изъятий; поиск оптимального портфеля МИП. Структура КП представлена на рис. 4.
Программный продукт, разработан на языке C++ в среде Microsoft VisualStudio.NET 2005 на основе объектно-ориентированного и обобщенного подходов. Код программной системы собран под операционные системы семейства Microsoft Windows с использованием компилятора Visual C++ 8.0. Также возможна сборка под операционные системы на ядре Linux с использованием компилятора GNU C++ compiler 4.2. Пользовательский интерфейс разработан на основе средств кроссплатформенной библиотеки Trolltech Qt 4.2.3.
По причине большой вычислительной емкости задач (2), (3), (4) в рамках реализации КП проведена модификация разработанных алгоритмов к использованию параллельных вычислений. Предложена процедура гибридного поиска оптимального портфеля, а также проведено сравнение эффективности параллельных и последовательных вычислений на численном эксперименте.
Рис. 4
Также затронуты вопросы моделирования псевдослучайных величин с равномерным, нормальным и распределением вида (6). Рассмотрены применяемые в работе генераторы псевдослучайных величин: поставляемый со стандартной библиотекой языка C++, модифицированный генератор Парка-Миллера с использованием метода перетасовки Байса-Дюрхема и генератор на основе алгоритма Л’Экюера. Осуществлена оценка их быстродействия.
Проведен эксперимент по решению поставленных задач c целью апробации и аттестации разработанных методов и алгоритмов. В качестве множества альтернатив рассматривались следующие МИП: «Сбор и переработка сильнозагрязненных полиэтиленовых бутылок в чистые хлопья вторичного полиэтилентерефлата» (Проект А); «Переоборудование самолёта Ту-134 в вариант V.I.P.» (Проект B); «Производство стабилизатора эластомерных изделий» (Проект С); «Приобретение оборудования для замены действующей техники в целях энергосбережения» (Проект D). Информация по МИП предоставлена бизнес-порталом «BelInvest». Исходные данные приведены в таблице 1.
В качестве метода оценки ОС для всех МИП применялась модель (5). Параметры распределений процентных ставок и уровня инфляции оценивались на базе статистической информация за период с 1995 по 2006 год по данным Центрального Банка РФ (таблица 2). В результате решения задачи (2) МИП были ранжированы по предпочтению следующим образом: .
Таблица 1. Инвестиционные альтернативы (тыс. USD).