Математическое моделирование, оценка и выбор многопериодных инвестиционных проектов в условиях риска.

1. построить ФП ЛПР: , , ;
2. разработать метод оценки траектории МИП (расчета );
3. определить процедуру расчета ОС МИП;
4. определить распределения , , , .

Пусть далее x – один из рассмотренных выше критериев ( или , или ). Восстановление ФП на критерии x осуществляется с использованием известных методов, основанных на интервальных оценках предпочтений ЛПР, представляемых областями расположения детерминированных эквивалентов лотерей , с неопределенным выигрышем . На основе анализа множества лотерей устанавливается параметрическое семейство U ФП, зависящее от вектора параметров , то есть проводится структурная идентификация ФП. Параметрическая идентификация ФП осуществляется с использованием метода наименьших квадратов, что формализуется в виде задачи условной оптимизации

,

где – ожидаемая полезность лотереи , m – число лотерей.

Двухкритериальная ФП представляется в аддитивной форме

,

в предположении о независимости по полезности критериев x и y, где – шкалирующие константы, , – условные однокритериальные ФП. Для задачи (2) , а для задачи (3) .

Траектория МИП оценивается при помощи разработанного метода компенсации, учитывающего выходы траектории за границы . Пусть далее – траектория (реализация случайного процесса ), описывающая динамику капитализации исхода МИП, и – отклонения от границ , – упущенный капитал в момент времени t. Соответственно – дополнительный капитал. Непрерывные множества таких моментов есть негативный и позитивный периоды реализации МИП (рис. 2), а – множество негативных и – множество позитивных периодов на .

Рис. 2

Тогда совокупный упущенный капитал в период равен

,

а совокупный дополнительный капитал в период

.

Оба показателя представляют собой оценку траектории МИП в период и соответственно. Компенсация при помощи осуществляется с использованием операции дисконтирования. Объем совокупного капитала, предназначенного для компенсации, определяется соотношениями

,

,

,

где – дисконтированный к моменту времени капитал, полученный в момент t, , – норма дисконта между моментами и t, – плотность распределения нормы дисконта.

Величина рассчитывается по формуле сложных процентов

,

где коэффициент дисконтирования в момент времени l определяется с использованием уравнения Фишера

,

где – кредитная процентная ставка, а – уровень инфляции.

В случае обратного расположения периодов и на временной оси компенсация осуществляется с использованием операции наращения:

,

,

,

где – наращенный к моменту времени t капитал, момента .

Компенсация символически представляется в виде следующих соотношений:

, ,

где – остаточный упущенный капитал компенсируемого периода , а – остаточный дополнительный капитал компенсирующего периода . Если в результате компенсации , то (рис. 3), если , то .

Компенсация завершается, когда или . В итоге формируется траектория с выходами только за одну из границ , либо полностью лежащая в его рамках.

Рис. 3

Для корректного сравнения МИП остаточный или упущенный капитал траектории каждого МИП дисконтируется к начальному моменту времени. В итоге оценка траектории МИП равна

где , .

Критерий положительно ориентирован и представляет собой денежную оценку расположения траектории МИП относительно . Важно отметить, что по своему смыслу он близок к критерию ОС, что делает его понятным для ЛПР, в той степени, при которой становится возможным выявить его предпочтения на данном показателе.

Определить распределения , , , , а также аналитически не представляется возможным. В этих условиях решение задач (2), (3), (4) осуществляется с использованием имитационного моделирования (ИМ). Модель реализации каждого МИП описывается парой , где – расчетный метод ОС МИП, а – совокупность вероятностных моделей параметров инвестиционной среды, обуславливающих исход МИП. Примером такого метода может служить следующий известный подход:

(5)

где параметрами среды являются: – процентная ставка для дополняющих инвестиций; – ставка для дополняющих заимствований на период .

Динамика среды представляется векторным процессом с независимыми компонентами в предположении, что каждый процесс стационарен и описывается моделью грубых ошибок с плотностью:

, (6)

где – плотность усеченного нормального распределения с математическим ожиданием и дисперсией , – плотность равномерного распределения на отрезке или , если , а – вероятность того, что реализация величины принадлежит равномерному закону . Параметры оцениваются с использованием критериев математической статистики на основе статистических данных.

Процесс решения задач (2 – 4) представим следующим образом:

,

здесь S – совокупность статистических данных; , – множество выбранных ЛПР расчетных моделей ОС МИП; – процедура параметрической идентификации распределения (6); – совокупность вероятностных моделей параметров инвестиционной среды; – множество сгенерированных реализаций инвестиционной среды; Q – алгоритм оценки траектории МИП; Y – алгоритм поиска обеспечиваемого МИП уровня изъятий; – процедура поиска оптимального портфеля МИП; , , – выборочные распределения ОС, оценки траектории МИП и обеспечиваемого уровня изъятий соответственно; – оценки ожидаемых полезностей на m имитациях. Число имитаций для задач (2), (3) определяется известными статистическими методами. Для задачи (4) предложен метод последовательного наращения числа имитаций до достижения устойчивого решения.

В данной главе также предложены алгоритмы проверки допустимости использования модели (6) для ОС МИП по информации о распределениях , путем формирования с использованием ИМ набора двумерных сеток, содержащих допустимые значения параметров , при которых распределение ОС может быть описано моделью (6).

Третья глава посвящена экспериментально-вычислительным аспектам и содержит описание разработанного комплекса программ (КП), метода генерирования вариантов исходного множества инвестиционных альтернатив, а также описание условий и процесса проводимых вычислительных экспериментов, анализ полученных результатов.

КП включает в себя пользовательский интерфейс, базу методов расчета ОС МИП, базу статистических данных и функциональные модули, решающие следующие задачи: восстановление ФП ЛПР; имитационное моделирование, расчет и оценку траекторий МИП; выбор МИП с позиций ОС; выбор МИП с позиций обеспечиваемого уровня изъятий; поиск оптимального портфеля МИП. Структура КП представлена на рис. 4.

Программный продукт, разработан на языке C++ в среде Microsoft VisualStudio.NET 2005 на основе объектно-ориентированного и обобщенного подходов. Код программной системы собран под операционные системы семейства Microsoft Windows с использованием компилятора Visual C++ 8.0. Также возможна сборка под операционные системы на ядре Linux с использованием компилятора GNU C++ compiler 4.2. Пользовательский интерфейс разработан на основе средств кроссплатформенной библиотеки Trolltech Qt 4.2.3.

По причине большой вычислительной емкости задач (2), (3), (4) в рамках реализации КП проведена модификация разработанных алгоритмов к использованию параллельных вычислений. Предложена процедура гибридного поиска оптимального портфеля, а также проведено сравнение эффективности параллельных и последовательных вычислений на численном эксперименте.

Рис. 4

Также затронуты вопросы моделирования псевдослучайных величин с равномерным, нормальным и распределением вида (6). Рассмотрены применяемые в работе генераторы псевдослучайных величин: поставляемый со стандартной библиотекой языка C++, модифицированный генератор Парка-Миллера с использованием метода перетасовки Байса-Дюрхема и генератор на основе алгоритма Л’Экюера. Осуществлена оценка их быстродействия.

Проведен эксперимент по решению поставленных задач c целью апробации и аттестации разработанных методов и алгоритмов. В качестве множества альтернатив рассматривались следующие МИП: «Сбор и переработка сильнозагрязненных полиэтиленовых бутылок в чистые хлопья вторичного полиэтилентерефлата» (Проект А); «Переоборудование самолёта Ту-134 в вариант V.I.P.» (Проект B); «Производство стабилизатора эластомерных изделий» (Проект С); «Приобретение оборудования для замены действующей техники в целях энергосбережения» (Проект D). Информация по МИП предоставлена бизнес-порталом «BelInvest». Исходные данные приведены в таблице 1.

В качестве метода оценки ОС для всех МИП применялась модель (5). Параметры распределений процентных ставок и уровня инфляции оценивались на базе статистической информация за период с 1995 по 2006 год по данным Центрального Банка РФ (таблица 2). В результате решения задачи (2) МИП были ранжированы по предпочтению следующим образом: .

Таблица 1. Инвестиционные альтернативы (тыс. USD).