авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |

Частотные моделии методы анализа робастности динамических систем

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

ЧЕЧУРИН Леонид Сергеевич

ЧАСТОТНЫЕ МОДЕЛИ
И МЕТОДЫ АНАЛИЗА РОБАСТНОСТИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 – математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени
доктора технических наук

Санкт-Петербург – 2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» (СПбГПУ)

Научный консультант: д. ф.-м. н. СКУБОВ Д.Ю. (СПбГПУ)

Официальные оппоненты:

засл. деятель науки и техники РФ,
лауреат Государственной премии СССР,
д. т. н., проф. ШАХТАРИН Б.И. (МГТУ им. Н.Э.Баумана)

д. т. н., проф. ШАШИХИН В.Н. (СПбГПУ)

д. т. н., проф. ТИМОФЕЕВ А.В. (СПИИ РАН)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится 3 июня 2010 г. в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 212.229.10 в Санкт-Петербургском государственном политехническом университете по адресу: 194251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке СПбГПУ.

Автореферат разослан «____» _____________ 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, Кудряшов Э.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Основные усилия в области исследований моделей динамических объектов, имеющей с 80-х годов прошлого века наименование "робастность", сосредоточены на решении следующих общих задач анализа и синтеза. Анализ: пусть построена модель, описывающая состояние некоторого объекта, и выбран показатель качества. Спрашивается, сохраняется ли выбранное качество, если параметры, описывающие объект или действующее на него возмущение, претерпевают изменения в некотором достаточно широком диапазоне? Синтез: как построить объект, гарантирующий сохранение вышевыбранного качества при изменении параметров? Обоснованный ответ на эти вопросы, очевидно, весьма интересен для практики, где неопределенность неизбежна по двум причинам. Во-первых, параметры объекта, а иногда и структура изучаемой системы могут быть подвержены изменениям, т.е. отличаться от номинальных в принятой модели. Во-вторых, любая модель в большей или меньшей степени упрощает свой физический оригинал, это отличие можно трактовать как неопределенность описания. И в том, и в другом случае заключение о робастности позволит дать определенные гарантии применимости проведенного анализа к реальному объекту.

Историю анализа поведения системы в случае различных возмущений ее описания можно отсчитывать уже с ранних работ по устойчивости колебаний. Самостоятельное имя, постановку и набор инструментов направление исследования робастности получало в течение трех последних десятков лет (отправным пунктом обычно называют работы Дж. Зеймса). С тех пор оно неизменно попадает в списки разделов важнейших международных конференций и периодики по теории динамических систем.

В этом направлении трудятся многие отечественные ученые: В.Л. Харитонов, Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков, А.П.Курдюков, В.Л. Харитонов, Г.А. Леонов, Н.Е. Барабанов, А.Н. Чурилов, А.В. Тимофеев, А.Х. Гелиг, Б.И. Шахтарин, К.А. Пупков, а также зарубежные исследователи А. В.-д.-Шафт, А. Исидори, Ж. Слотин, К. Дойл, Дж. Гловер, Б. Френсис, К. Шерер, Х. Квакернаак, П. Гайне, А. Немировский и др. Многие из указанных исследований отличаются строгой постановкой задачи и используют надежный, но абстрактный формализм, который не всегда соотносится с особенностями инженерной практики и, как правило, не дает возможности вскрыть физический смысл результатов. Следствием этого является относительно слабое проникновение методов робастности в практическую деятельность. Кроме того, для известных подходов к анализу робастности характерно отсутствие общности, выражающееся в строгом разделении методов исследования для различных классов систем. Актуальна необходимость пополнения такой академичной теории единым и достаточно (хотя бы и приближенным) наглядным подходом к оценке робастности, использующим физически измеримые величины. Фундамент такого подхода логично искать в частотных математических моделях и построенных на них методах анализа динамических процессов, распространенных на нестационарные и нелинейные системы с помощью гармонического приближения (это направление сформировано работами Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова и развито Л.С. Гольдфарбом, В.М. Поповым, Дж. Бонджиорно, Е.П. Поповым, Е.И. Хлыпало и др.). Таким образом, основная идея представляемой к защите работы связана с разработкой частотных математических моделей динамических объектов, а также с развитием качественных и приближенных частотных методов анализа робастности различных классов нестационарных и нелинейных систем.

Цель работы заключается в решении проблемы разработки частотных математических моделей и создания на этой основе общей частотной методологии оценки робастности динамических систем. Задачи, решаемые для достижения цели, состоят в:

  1. развитии методов анализа и синтеза линейных робастных стационарных систем управления,
  2. создании частотных моделей и методов оценки робастности в нестацио-нарных системах,
  3. создании частотных моделей и методов оценки робастности процессов в нелинейных системах.

Методы исследования. В качестве основы для разработки новых аналитических результатов использовались теория дифференциальных уравнений, теория автоматического управления, функциональный анализ, теория колебаний, метод гармонического баланса, метод стационаризации. Для проверки получаемых результатов применялся численный эксперимент.

Научная новизна заключается в развитии нового единого (частотного) подхода к анализу робастности стационарных, нестационарных и нелинейных динамических систем. Для ряда известных задач исследования робастной устойчивости получены новые решения в форме точных и приближенных частотных критериев устойчивости для достаточно широких классов нестационарных и нелинейных объектов. Предложен ряд новых постановок задач оценки робастности применительно к различным классам неопределенности нестационарных (устойчивость систем с периодическим изменением параметра, периодическим изменением структуры и др.) и нелинейных (устойчивость процессов на классах нелинейностей, амплитуд и частот входного сигнала и др.) систем и получены их решения в форме приближенных частотных критериев. Для анализа линейных объектов с распределенными параметрами предложена новая методика получения их частотных математических моделей. Разработан новый способ частотного моделирования ряда экономических объектов.

Практическая ценность полученных результатов заключается в появившейся возможности оценки робастности широкого класса нестационарных и нелинейных систем управления по построенным или полученным из эксперимента частотным характеристикам их линейных частей. Диссертация содержит главу, специально посвященную примерам анализа робастности применительно к различным техническим и экономическим системам. Прилагаются документы о внедрении и использовании результатов диссертации.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием достоверных исходных положений и их развитием с помощью формального математического аппарата. Все полученные таким образом результаты подтверждались численными экспериментами.

На защиту выносятся:

  1. Для линейных стационарных объектов:

- асимптотическая модификация синтеза робастного регулятора по двум уравнениям Риккати при сингулярности стандартной H задачи,
- методика получения передаточных функций объектов с распределен-ными параметрами,

- методика редукции робастного регулятора.

2. Методика составления частотных математических моделей для исследования робастности.

3. Частотно-алгебраические критерии робастной устойчивости нелинейных и нестационарных систем.

4. Частотные оценки робастной устойчивости нестационарных систем.

5. Частотные оценки робастности процессов в нелинейных системах.

6. Решение прикладных задач.

Апробация работы проводилась на ряде научных конференций и семинаров, из которых наиболее значимые:

  • «Advanced Summer Institute – ASI», Тулуза (Франция), LAAS, 1996 г.
  • «Annual Meeting of Korean Mechanical Society», Куми (Южная Корея), 1998 г.
  • IASTED International Conference on Modeling, Identification and Control, Иннсбрук (Австрия), 1999 г.
  • «Advanced Problem in Mechanics – APM», Репино, 2003 и 2005 г.г.
  • «Physics and Control – PhysCon», Санкт-Петербург, 2004 и 2005 г.г.
  • «ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers in Engineering Conference», Лас-Вегас (США), 2007 г.
  • Научный семинар лаборатории «Управление сложными системами» Института проблем машиноведения РАН (рук. проф. А.Л. Фрадков)
  • Научный семинар кафедры «Прикладная математика и кибернетика» факультета математики и механики Санкт-Петербургского государственного университета (рук. чл.-корр. РАН Г.А. Леонов)
  • Научный семинар лаборатории №7 Института проблем управления РАН (рук. проф. Б.Т. Поляк).

Диссертация содержит 255 страниц, 124 рисунка, 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертации является вводной. В ней формулируются цели и задачи диссертации, вводятся определения робастности, приводится контекст диссертации в форме краткого исторического обзора исследований, связанных с этой тематикой.

Несмотря на относительную молодость самого термина «робастность», работы, либо в чистом виде относящиеся к этой теме, либо связанные с ней теснейшим образом, обнаруживаются уже среди ранних трудов по теории колебаний, теории устойчивости и математической теории динамических систем. Так, один из важнейших методов анализа динамических объектов – метод малого параметра А. Пуанкаре, основан на весьма близкой идее оценки влияния малых возмущений на решение уравнений опорной модели. В сущности, историю могут представить связанные с математическим моделированием неопределенности работы И.А. Вышнеградского, А.Н. Крылова, Ю.И. Неймарка, методы оценки устойчивости нелинейных систем А.М. Ляпунова, анализ грубости нелинейных систем А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина, труды по абсолютной устойчивости В.Д. Якубовича, Б.Н. Наумова и Я.З. Цыпкина, М.А. Айзермана, Р. Калмана и многих других. Современную эру исследования робастности систем с обратной связью открыли работы Дж. Зеймса (1970 г.), где впервые появился сам этот термин. Успехи в оптимизации с равномерно-частотной нормой (В.Д. Адамян, Д.З. Аров, М.Г. Крейн, Дж. Дойл, К. Гловер, Б. Френсис) породили множество работ с H-м критерием, ставшим на некоторое время синонимом робастности. Это труды К. Шерера, Х. Квакернаака, А.А. Первозванского, работы, связанные с использованием линейных матричных неравенств, ЛМН (П. Гайне, А. Немировского, А.Н. Чурилова и А.В. Гессена и др.).

К аспектам анализа робастности нелинейных динамических систем относятся современные работы А. Исидори, А.в.-д. Шафта, Ж. Слотина, Г.А. Леонова, А.Е. и Н.Е. Барабановых, использующие классические методы.

Отдельные ветви составляют исследования устойчивости интервальных полиномов на основе годографа Михайлова (В.Л. Харитонов, Б.Т. Поляк, С. Бхатачарья), интервальных матриц на основе анализа уравнений Лурье-Риккати (В.Н. Шашихин) и работы по определению радиуса устойчивости для возмущений матриц, в т.ч. нестационарных (Д.Хинришен и А.Притчард).

Большой востребованностью в инженерном деле отличаются методы, объединенные использованием частотного анализа и передаточных функций. При этом известный критерий устойчивости Найквиста (1932 г.) можно рассматривать как первый частотный инструмент исследования устойчивости линейных стационарных систем при непараметрическом возмущении. Важной вехой стала работа А.И. Лурье (1956 г.), открывшая возможности представления нелинейных систем в форме систем с обратной связью. В развитие частотного направления внесен вклад Н.М. Крыловым, Н.Н. Боголюбовым, а также Л.С. Гольдфарбом, В.М. Поповым, Дж. Бонджиорно, Е.П. Поповым, Е.И. Хлыпало, Е.Н. Розенвассером и др.

Вторая глава посвящена анализу робастности линейных стационарных систем управления при параметрической и структурной неопределенности в описании объекта, построению частотных моделей систем с распределенными параметрами и вопросам робастной редукции математических моделей систем управления.

В начале главы обсуждается моделирование неопределенности описания объекта управления и, когда это имеет смысл, оценка его устойчивости на классе этих возмущений. Дается краткий обзор известных подходов к оценке устойчивости объектов управления, параметры которых стационарны, но могут принадлежать некоторым интервалам (так называемые интервальные системы). Разделяются случаи возмущения матриц пространства состояний и коэффициентов (знаменателя) дробно-рациональной передаточной функции (далее – п.ф.) объекта G(p). Для первого случая перечисляются методы теории возмущений матриц и выделяется методика, использующая линейные матричные неравенства. Для второго случая излагается теоретическая основа частотного анализа, используемая для получения ряда новых результатов.

Приводится постановка задачи анализа структурных возмущений, связанных, как правило, с изменением порядка передаточной функции объекта. Возмущения номинальной (возможно, матричной) устойчивой п.ф. G0(p) обозначаются G(p) и называются в зависимости от того, как они входят в п.ф. исследуемого объекта:

- аддитивными A, если ,

- мультипликативными P, если ,

- дробно-рациональными [M(p), N(p)], если G0(p) = M0(p)/N0(p),

,

где M0(p), N0(p), M(p), N(p) – устойчивые строго реализуемые дробно-рациональные п.ф. Как правило, ограничения на возмущения (p) задаются в форме нормы или частотно-зависимой мажоранты:

или ,

где – максимальное сингулярное собственное число матрицы а,
||•|| –верхняя граница этого числа по частотам (или H норма п.ф.).

Характер разрабатываемого единого частотного подхода к анализу робастности требует получения частотных моделей объектов с распределенными параметрами. Для этого разработана методика получения их в форме п.ф., позволяющая строить приближения заданного порядка (порядок явно входит в выражение аппроксимирующей п.ф.). Во-первых, это достаточно простой способ построения частотной модели линейной части системы, необходимой, в частности, для подходов к анализу нестационарных и нелинейных систем, разрабатываемых в следующих главах. Во-вторых, это дает возможность исследовать робастность замены реального объекта с бесконечным числом степеней свободы конечномерным. Суть методики иллюстрируется простым случаем моделирования колебаний круглого вала постоянного сечения, описываемого уравнением в частных производных второго порядка. Затем она применяется к более сложной задаче построения частотной модели балки Тимошенко, описываемой следующей системой уравнений

,

, (1)

,

,

где x – линейная координата оси балки, f(x,t) – распределенная нагрузка, V(x,t) – перерезывающая сила, M(x,t) – перерезывающий момент, w(x,t) – прогиб, (x,t) – угол поворота сечения; А, I, G, , k – параметры балки.

Определенная схема конечно-разностной аппроксимации сводит (1) к дифференциально-разностному уравнению. К нему применяются обыкновенное (по времени) и дискретное (по координате) преобразования Лапласа с получением алгебраической системы уравнений, в данном случае легко разрешаемой.

Совершив обратное z-преобразование, получаем искомые п.ф. как явные функции номера ячейки (сечения) n:

,

,

,

,

где ri, ui, , w – выражения с физическими параметрами системы. Учет граничных условий приводит к матричному выражению вида

,

где аij – некоторые трансцендентные функции от n и p. При p=j оно имеет смысл частотных характеристик при различных граничных условиях. Построение обратного z-преобразования является сложной аналитической процедурой и не всегда возможно, это ограничивает применение метода.

Следующий раздел посвящен развитию метода синтеза обратной связи для объектов с неопределенностью. Приведены краткие обзоры истории вопроса, постановки задач и современных подходов (в большинстве своем опирающихся на ЛМН) к синтезу регулятора. Акцент сделан на постановке задачи и методах решения в частотной области, а именно: на задаче робастной фильтрации внешних возмущений неизвестного, но ограниченного по мощности спектра, и сводимой к ней задаче синтеза стабилизирующего регулятора для объекта с ограниченными аддитивными возмущениями в п.ф.

Кратко разъяснена причина возникновения сингулярности стандартной процедуры синтеза робастного регулятора в ряде постановок (например, в случае так называемой оптимизации функционала смешанной чувствительности) и предложено усовершенствование – асимптотическая модификация, корректность которой обосновывается двумя теоремами.

 Задача синтеза робастного-16

Рис. 1. Задача синтеза робастного управления при дробно-рациональных возмущениях в объекте: a) общий вид, б) эквивалентная схема

Теорема 1

Две следующие задачи эквивалентны:

1. Максимизация запаса устойчивости при структурных возмущениях объекта (рис. 1, a)

G0(p)= M0-1(p) N0(p), M(p) = M0(p) + M (p), N(p) = N0(p) + N (p).

2. Минимизация H нормы передаточной функции Tz(p) в следующей системе (рис. 1,б)

y = H0(p)u = M0-1(p) N0(p) u, u= K(p)y, , , ,

где |U(j)| и |V(j)| – частотные мажоранты максимального сингулярного собственного числа M(j) и N(j), соответственно.

Теорема 2

Пусть все нули знаменателя передаточной функции V(p)M0-1(p) принадлежат открытой левой полуплоскости. Пусть матрицы [A, Bi ,Ci ,Dij] есть матрицы пространства состояний задачи рис. 1, б. Тогда

где ()= max{P, D(), ()}. Здесь P обозначает нижнюю границу значений параметра , при которых существует положительно определенное решение P уравнения

ATP + PA – P(B2 B2T – -2 B1 B1T)P + C1T C1 = 0,

D() обозначает… (аналогично) …решение D уравнения

AD + DAT – D( -2C2TC2 – -2 C1TC1)D + B1B1T = 0,

() обозначает нижнюю границу значений параметра , при котором выполняется неравенство

-2 {P()D(,)} <1.

Теоремы обосновывают искусственное введение малых шумов измерений y=C2х + , где малая положительная величина, и дают возможность применять стандартные программы Matlab. Это использовано при синтезе робастного управления ротором на магнитном подвесе (глава 5).



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.