авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 | 3 |

Статистический подход к реконструкции динамических систем по зашумленным данным

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

МУХИН Дмитрий Николаевич

Статистический подход к реконструкции динамических систем по зашумленным данным

01.04.03 – радиофизика

А в т о р е ф е р а т

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород – 2007

Работа выполнена в Институте прикладной физики Российской академии наук (г. Нижний Новгород).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

А.М. Фейгин.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.С. Дмитриев;

доктор физико-математических наук,

профессор В.Д. Шалфеев.

Ведущая организация: Саратовский государственный университет (г. Саратов).

Защита состоится « ___ » мая 2007 г. в ___ часов на заседании диссертационного совета Д 002.069.02 в Институте прикладной физики РАН (603950, г. Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной физики РАН.

Автореферат разослан « ___ » апреля 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

профессор Ю. В. Чугунов

Общая характеристика диссертации

Предмет исследования и актуальность темы. Реконструкция динамических систем (ДС) по временным рядам (ВР) является одной из фундаментальных задач радиофизики. Актуальность такого подхода к реконструкции связана с тем, что он не требует наличия полной и детальной априорной информации о процессах, протекающих в системе, т. к. не включает в себя процедуру построения моделей из первых принципов (уравнений движения среды или отдельных частиц, уравнений для силовых полей, переноса излучения, химической кинетики, тепло и массопереноса и пр.). Математическая модель исследуемой динамической системы при этом строится путем прямого анализа наблюдаемого процесса, вообще говоря, без привлечения информации о природе явления, лежащего в его основе.

Методы построения моделей, описывающих динамику исследуемой системы в восстановленном по ВР фазовом пространстве, можно разбить на две группы [1,2]. К первой относятся методы, направленные на реконструкцию локальной динамики системы в отдельно взятых элементарных ячейках фазового пространства. Для успешной реконструкции поведения системы с помощью локальных моделей необходимо, прежде всего, чтобы окрестность каждой точки исследуемого аттрактора была хорошо посещаема восстановленной фазовой траекторией, т. е. протяженность наблюдаемого ВР (объем данных) должна быть достаточной для хорошего покрытия всего аттрактора. Другим требованием к наблюдаемым данным является стационарность исследуемого ВР (предполагающая постоянство управляющих параметров реконструируемой системы), поскольку описанные методы базируются на эргодической гипотезе. Главным недостатком локальных моделей является очень большое количество коэффициентов, требуемых для их описания, что очевидным образом снижает точность реконструируемых характеристик системы. Кроме того, высокая чувствительность к измерительному шуму сильно затрудняет их использование при работе с реальными данными. Вторую группу образуют методы глобальной реконструкции динамических систем, направленные на построение модели оператора эволюции (ОЭ), действующего во всей области фазового пространства, соответствующей наблюдаемому ВР. Привлекательность такого подхода связана с тем, что весь набор имеющихся данных описывается непрерывной гладкой моделью с небольшим (по сравнению с локальными моделями) числом параметров. Более того, с помощью глобальных моделей можно отслеживать изменения управляющих параметров исходной системы, что находит применение в задачах реконструкции неавтономности системы (см. главу 2), восстановления бифуркационных диаграмм [3], передачи информации [4] и т.д.



Общей чертой всех процессов реального наблюдения является наличие случайной составляющей в экспериментальных данных, которая может быть следствием, например, шума измерительной аппаратуры, конечной точности измерений, дискретности временного ряда и т.п. В результате, наблюдаемые в реальном эксперименте величины содержат стохастическую компоненту и, следовательно, подлежат вероятностному описанию. Это означает, что для получения несмещенных оценок неизвестных характеристик системы нужны методы, основанные на статистически корректном подходе к реконструкции системы по зашумленным данным. Исследования в данном направлении, проведенные в последнее время, показали, что разработка таких методов является нетривиальной задачей в наиболее интересном случае, когда наблюдается сложное (хаотическое) поведение системы, а данные измерений содержат существенную погрешность. Предложенные к настоящему времени методы, направленные на решение этой проблемы, имеют ряд существенных недостатков, не позволяющих использовать информацию о динамической системе, содержащейся в исследуемых данных, в полной мере.

Другой характерной чертой процессов, протекающих во многих природных системах, является нестационарность наблюдаемого поведения, являющаяся следствием медленной неавтономности системы. Такая неавтономность характерна для природных систем, т. к. они практически никогда не бывают замкнутыми, но зависят от изменяющихся с течением времени внешних условий, что может приводить к изменению во времени параметров, определяющих динамические свойства системы. Это означает, прежде всего, возможность смены типа поведения системы (бифуркации) в процессе ее эволюции, что влечет за собой существенные (иногда катастрофические) изменения количественных характеристик наблюдаемого процесса. Поэтому в описанной ситуации особенно актуальной задачей, которую должна решать реконструкция, является задача прогноза качественного поведения ДС.

Общей целью изложенных в данной диссертационной работе исследований является разработка и реализация эффективного метода глобальной реконструкции ДС, позволяющего извлекать из наблюдаемого ВР максимально полную информацию об исследуемой системе на основе статистического подхода к решению обратных задач. С позиций единого подхода рассмотрены следующие проблемы:

  1. Разработка статистически обоснованного метода реконструкции в наиболее сложной с точки зрения «классического» Байесова подхода ситуации, когда наблюдаемые данные представляют собой хаотический зашумленный процесс.
  2. Вероятностный прогноз поведения неизвестных динамических систем по слабонестационарным хаотическим временным рядам.
  3. Решение некорректной обратной задачи восстановления вертикальных профилей атмосферных характеристик по данным пассивного дистанционного зондирования. Хотя данная задача не относится к реконструкции динамических систем, тем не менее, разработанная методика реконструкции ненаблюдаемых по данным измерений позволяет решать данную задачу более эффективно по сравнению с широко использовавшимися ранее методами.

Для решения перечисленных задач предложены методы, включающие в себя эффективные оригинальные способы параметризации решения, а также учета имеющейся априорной информации о системе. Кроме того, используемые в работе численные алгоритмы модифицированы с учетом специфики рассматриваемых задач.

Научная новизна работы

1. В диссертационной работе предлагается способ использования Байесова подхода для реконструкции ДС по хаотическим ВР, содержащим шум измерений. Метод корректно учитывает статистику шумов, и в то же самое время максимально возможным образом принимает во внимание динамичность исследуемой системы. Отмеченная во многих работах (см., например [5-8]) неприменимость Байесова подхода для анализа хаотических рядов преодолевается при этом более эффективно, по сравнению с предложенными ранее методами [7,8].

2. Предложен основанный на методе Монте-Карло метод статистического анализа построенной в рамках Байесова подхода функции апостериорной плотности вероятности (АПВ) ненаблюдаемых (параметров модели и латентных переменных), необходимого для расчета доверительных интервалов искомых величин. Предложенный метод позволяет, кроме всего прочего, производить оценку параметров распределения шума (например, дисперсию), вообще говоря, неизвестных априори и являющихся ненаблюдаемыми наряду с параметрами модели и латентными переменными.

3. В работе разработан метод прогноза качественного поведения неизвестной ДС, основанный на Байесовой реконструкции, который позволяет производить вероятностное предсказание поведения исследуемой системы. В рамках этого метода задается явно зависящая от времени модель ОЭ системы, строится функция АПВ параметров этой модели, которая определяет ансамбль возможных сценариев поведения системы, по которому затем вычисляются вероятности искомых характеристик (такие как, например, тип динамического режима в интересующий момент времени или моменты времени бифуркаций) как на интервале времени наблюдения, так и в будущем (путем экстраполяции модели за пределы времени наблюдения).

4. Разработанный в работе метод восстановления высотных профилей атмосферных характеристик по данным радиометрического зондирования, основанный на статистическом подходе к решению обратных задач, позволяет производить восстановление в случае, когда данные содержат сильный шум, а решаемая задача является существенно нелинейной. Предложенный способ регуляризации задачи, включающий в себя аппроксимацию профиля функцией в виде искусственной нейронной сети (ИНС), является более эффективным в условиях бедной априорной статистики, по сравнению с существующими ранее методами.

Методы и подходы, используемые в диссертации

  • Используется Байесов подход к построению апостериорных распределений для ненаблюдаемых, включающих в себя как информацию о шумовой составляющей данных наблюдений, так и априорную информацию об исследуемой системе (последнее является способом регуляризации некорректной задачи).
  • Разработаны численные коды, реализующие предлагаемые алгоритмы анализа используемых в работе функций плотности вероятности, являющихся сильно нелинейными функциями многих переменных. Данные алгоритмы включают в себя оптимизацию таких функций, их интегрирование методом Лапласа и статистический анализ методом Монте-Карло (разработан метод, основанный на алгоритме Metropolis-Hasting), а также расчет доверительных интервалов реконструируемых характеристик системы.
  • С использованием указанных кодов проведено численное моделирование для задач, изложенных в данной работе.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в 5 статьях в реферируемых российских (Известия ВУЗов -- Радиофизика) и международных (Faraday Discussions, Advances in Space Research, Physical Review E) научных журналах, 3 препринтах ИПФ РАН, 2 отчетах по программе фундаментальных исследований ОФН РАН, 6 сборниках трудов и 27 сборниках тезисов всероссийских и международных конференций.

Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинарах и конкурсах работ молодых ученых ИПФ РАН, семинарах НИИ ПМК, ИФА РАН, кафедры математической статистики ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, на семинаре «Российская наука -- XXI век» Минпромнауки РФ, в Лондонском Империал колледже (Великобритания), на международных и общероссийских конференциях и совещаниях: 12-ой Генеральной ассамблее Международного союза геодезии и геофизики (1999 г., Бирмингем, Великобритания), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.А. Андронова «Прогресс в нелинейной науке» (2001 г., Нижний Новгород), Международной конференции Хаос'01 (2001 г., Саратов), 120-ой Фарадеевской дискуссии Королевского химического общества «Nonlinear Chemical Kinetics: Complex dynamics and Spatiotemporal Patterns» (Манчестер, Великобритания, 2001), XXXII Международном научно-методическом семинаре «Шумовые и деградационные процессы в полупроводниковых приборах» (Москва, 2001), 4-ом и 5-ом Рабочих совещаниях программы «REACTOR» Европейского научного фонда (2003 г., Будапешт, Венгрия; 2004г., Прага, Чехия), 35-ой Научной ассамблее COSPAR (2004г., Париж, Франция), Генеральной ассамблее Европейского союза наук о Земле (2005 г., Вена, Австрия), Международном симпозиуме «Topical Problems of Nonlinear Wave Physics» (2005 г., Санкт-Петербург -- Нижний Новгород), 31-ом Международном симпозиуме по дистанционному зондированию окружающей среды (2005 г., Санкт-Петербург), Международной конференции «Динамические дни» (2006 г., Крит, Греция), 3-ой, 4-ой, 5-ой, 6-ой Нижегородской научной сессии молодых ученых (Н. Новгород, 1998, 1999, 2000, 2001 гг.), 2-й Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков (1998 г., С.-Петербург), 9-ой Всероссийской школе-семинаре «Волны -- 2004» (Москва), 6-ой, 7-ой, 8-ой, 9-ой и 10-ой Всероссийской школе-конференции молодых ученых «МАПАТЭ» (2000 г. и 2003г., Нижний Новгород; 2004г., Москва; 2005г., Борок; 2006г., Москва), Международном симпозиуме стран СНГ «Атмосферная радиация» (2002 и 2004 г., С.-Петербург), 11-ой, 12-ой и 13-ой Научной школе «Нелинейные Волны» (2002, 2004 и 2006 г.г., Нижний Новгород), 20-ой Всероссийской конференции по распространению радиоволн (2002 г., Н. Новгород), 15-ой научной сессии Совета по нелинейной динамике (2006г., Москва).





Структура объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка цитированной литературы, включающего и работы автора. Общий объем диссертации составляет 124 страницы, включая 28 рисунков и список литературы из 107-ми наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, определены предмет исследования и задачи диссертации, кратко изложено содержание диссертации, а также приведены данные по апробации и публикациям включенных в диссертацию материалов.

Первая глава данной работы посвящена описанию и иллюстрированию на модельных примерах предлагаемого способа реализации (модификации) Байесова подхода.

В разделе 1.1 делается введение, содержащее общие положения Байесова подхода применительно к анализу ВР, содержащих шумы различной природы. Описывается метод построения из общих принципов функции АПВ ненаблюдаемых переменных системы, определяющих набор свойств системы, прямое измерение которых невозможно.

Если в процессе эксперимента регистрируются значения величины x, то, в соответствии с теоремой Байеса, апостериорная условная плотность вероятности ненаблюдаемых параметров (часто называемое правдоподобием) пропорциональна произведению их априорной плотности вероятности и априорной условной плотности вероятности полученных экспериментальных результатов :

. (1)

Условная плотность вероятности целиком определяется “способом” зашумления ВР и плотностями вероятности всех присутствующих в ВР шумов. Фактор позволяет учесть имеющуюся a priori информацию о системе.

Рассмотрим в качестве примера ДС с дискретным временем и предположим, для определенности, что как погрешность (шум) измерений , так и возможный дефект модели [9] (расхождение модельного и истинного ОЭ) 1 аддитивны:

(2)

Здесь индекс k нумерует отсчеты дискретного времени, вектор задает “истинное” (латентное) состояние ДС в d-мерном фазовом пространстве, а функция описывает оператор эволюции ДС, определяемой вектором параметров . Поскольку “истинные” состояния ДС неизвестны, фигурирующие в (1) плотности вероятности зависят не только от параметров , но также от латентных переменных u и статистических характеристик шумов и . При этом вид функции априорной условной плотности вероятности целиком определяется распределениями случайных величин и . Обозначая предполагаемые формы функций плотности вероятности шумов и (и – параметры соответствующих распределений) и считая при этом шумы в различные отсчеты времени независимыми, используя (1) и (2), запишем искомую АПВ ненаблюдаемых:

(3)

Интегрируя функцию (3) по латентным переменным и параметрам и , получим функцию апостериорной вероятности параметров , содержащую всю информацию об искомом модельном ОЭ:

(4)

Поскольку каждый вектор соответствует функции ОЭ системы, ансамбль параметров, распределенный в соответствии с функцией (4), задает набор возможных реализаций динамических переменных системы (в том числе и за пределами наблюдаемого ВР, см. подробнее главу II), по которому могут быть вычислены, например, вероятности возможных динамических режимов, отвечающих наблюдаемому ВР. Заметим, что как интегрирование функции (3), так и генерация ансамбля параметров, распределенного в соответствии с заданной функцией (4) являются самостоятельными задачами, при этом выбор адекватных алгоритмов их решения диктуется конкретным приложением.

В разделе 1.2 рассматриваются частные случаи, соответствующие ситуациям, когда измерительный шум мал и когда он существенен. В случае, когда уровень шума измерений пренебрежимо мал, функция АПВ, определяемая только случайными несоответствиями модельного и истинного ОЭ системы (дефектом модели), не содержит латентных переменных2. При наличии существенного шума измерений использование “классического” Байесова подхода для анализа хаотических ВР является затруднительным вследствие чрезвычайно сложной структуры соответствующей функции АПВ. Действительно, в ситуации, когда (см. систему (2)), в предположении нормального распределения шума измерений (с некоррелированными шумовыми отсчетами), соответствующая АПВ зависит от одной начальной латентной переменной и записывается следующим образом:

. (5)



Pages:   || 2 | 3 |
 

Похожие работы:










 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.