авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизонтальном течении жидкости

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Руденко Алексей Иванович

НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ НА СДВИГОВОМ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ

01.04.02- теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Калининград - 2007

Работа выполнена в ФГОУ ВПО "Калининградский государственный технический университет"

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Зайцев Анатолий Алексеевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Лебле Сергей Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент Байдулов Василий Геннадьевич
Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет.

Защита диссертации состоится “___ “___________ 2007г. в ___ часов

на заседании диссертационного совета К212.084.02 физического факультета Российского государственного университета имени Иммануила Канта.

по адресу: 236041, г. Калининград, ул. Ал. Невского, 14

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного университета имени Иммануила Канта

Автореферат разослан “___ “___________ 2007г.

Ученый секретарь

диссертационного совета В.А. Пахотин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Различие типов волн в природе обусловлено определяющей возвращающей силой (гравитация, поверхностное натяжение), структурой динамических уравнений и граничных условий, определяющих основную характеристику волны – дисперсионное соотношение. При рассмотрении волновых движений в несжимаемой жидкости выделяют поверхностные и внутренние волны. Оба типа волн существенно влияют на геофизические процессы, поэтому их изучению уделяют пристальное внимание.

Волны на поверхности жидкости являются одним из самых распространенных видов волнового движения в природе, которые доступны для визуального наблюдения. Характеристики волн зависят от свойств и параметров среды, в которой они распространяются. Среди поверхностных волн выделяют поверхностные гравитационные и короткие капиллярно-гравитационные волны; среди внутренних волн выделяют внутренние гравитационные волны при произвольном распределении плотности и волны относительно тонкой (по сравнению с длиной волны) границе раздела. Трудности исследования задач теории поверхностных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь, также является неизвестной функцией и подлежит определению. Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений. Особый интерес представляет изучение строения и характеристик нелинейных стационарных волн в жидкости, стратифицированной по плотности и течению.



Важную роль в процессе развития теории нелинейных волн сыграла задача о стационарных волнах на поверхности идеальной жидкости, впервые рассмотренная Стоксом (1847, 1880), где было предложено два метода ее решения. В дальнейшем исследования Стокса были продолжены многими учеными, в том числе Буссинеском, Кордевегом, де Вризом, Рэлеем, Митчеллом, Хавелоком, Уилтоном, Некрасовым, Леви-Чивита, Струиком, Лаврентьевым, Сретенским, Красовским, Фридрихсом, Хайерсом, Дэ, Шварцем, Уиземом и другими; эти исследования привели к появлению уравнения Кортевега-де Вриза, анализ которого породил один из важнейших разделов современной теоретической физики – теорию солитонов. Вместе с тем, задача описания вывода нелинейного дисперсионного соотношения даже для простейшего случая волн на течении с линейным профилем скорости остается открытой.

Цель работы заключается в изучении характеристик, строения профиля и вывода нелинейного дисперсионного соотношения для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении путем решения следующих задач:

- выводу точного нелинейного уравнения для профиля стационарной волны на поверхности идеальной однородной жидкости конечной глубины, его решение в виде аналитических рядов, вывода нелинейного дисперсионного соотношения;

- в рамках эйлерова подхода и других стандартных условий изучить стационарные нелинейные волны на горизонтальном сдвиговом течении жидкости конечной глубины при условии, что профиль средней скорости линейный; при этом особое внимание уделить выводу и анализу нелинейного дисперсионного соотношения;

- усовершенствовать существующую методику анализа нелинейных волн.

Научная новизна. Для задачи о двумерных стационарных нелинейных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины при условии, что волновые движения являются потенциальными, впервые выведено точное нелинейное уравнение для профиля стационарной волны на поверхности жидкости; благодаря этому исходная двумерная нелинейная краевая задача сведена к интегро-дифференциальному уравнению для функции одной переменной.

Дан подробный анализ решения классической задачи Стокса. В частности, доказана гипотеза Уилтона (1914).

В задаче о поверхностных волнах на сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости предложена модификация первого метода Стокса; получено и проанализировано нелинейное дисперсионное соотношение для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.

Научная и практическая значимость. В работе исследованы стационарные нелинейные волны на горизонтальном течении идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной и бесконечной глубины с линейным по вертикали профилем средней скорости. С учетом интегро-дифференциального уравнения (с кубической нелинейностью) для профиля стационарной волн двумерная задача сводится к одномерной, что существенно упрощает процедуру расчета приближений. Использованная в работе методика может быть применена для решения других задач теории нелинейных волн в диспергирующих средах. Полученное нелинейное дисперсионное соотношение может быть использовано для вывода модельных уравнений Кортевега – де Вриза, Кадомцева - Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, описывающих распространение длинных слаболинейных волн и их пакетов на горизонтальном сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости. Найденные нелинейные поправки к фазовой скорости можно использовать для изучения эффектов автомодуляции. Диссертационная работа поддержана следующими грантами:

  • Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 03-05-65136, № 00-05-64136);
  • Международного фонда фундаментальных исследований INTAS (проект № 460/01, 2002 г.).

Основные положения, выносимые на защиту:

  1. Вывод интегро-дифференциального уравнения с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины.
  2. Определение профиля и нелинейного дисперсионного соотношения стационарных волн на поверхности жидкости конечной глубины с точностью до седьмого приближения.
  3. Вывод системы одномерных уравнений, описывающих распространение стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины с линейным профилем средней скорости.
  4. Обоснование корректности выбора разложений по степеням амплитуды основной гармоники для скорости профиля волны, относительной функции тока и семейства вспомогательных функций.
  5. Решение систем уравнений для пяти низших приближений. Вывод и анализ нелинейных дисперсионных соотношений для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием современных методов теоретической и математической физики, сравнением полученных в работе аналитических решений с теоретическими результатами, известными в литературе.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XI Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях” (Москва, 2001), Всероссийской научной конференции “Физические проблемы экологии. Экологическая физика” (Москва, 2001, 2004), на 56 научно-техническом семинаре Института проблем механики РАН (Москва, 2002), XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003), XII Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях” (Санкт-Петербург, 2003), XIII Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях” (Москва, 2005), Международной конференции по избранным трудам современной математики, приуроченной к 200 – летию со дня рождения К.Г. Якоби (Калининград, 2005).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 14 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. В процессе выполнения диссертационной работы автор принимал непосредственное участие в постановке задачи, выборе и реализации методов их решения, физическом анализе и интерпретации результатов математического исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, используемой литературы. Общий объем диссертации составляет 138 страниц и включает 12 рисунков. Библиографический список включает 132 наименования.

Благодарности. Диссертант выражает благодарность сотрудникам Атлантического отделения Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН. Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность за всемерную поддержку и помощь на всех этапах работы доктору физико – математических наук, профессору В.А. Гриценко, а так же доктору физико – математических наук, профессору Ю.Д. Чашечкину.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, описывается ее общенаучный контекст, сформулированы основные задачи и защищаемые положения, а так же кратко изложено содержание работы.

Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений. Особый интерес представляет изучение строения и характеристик нелинейных стационарных волн в жидкости, стратифицированной по плотности и течению.

Первая глава представляет собой обзор основных публикаций, посвященных тематике диссертации. Здесь описываются теоретические методы изучения нелинейных поверхностных волн, а также дан обзор современного состояния теоретического исследования нелинейных стационарных волн на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости. Трудности исследования задач теории нелинейных поверхностных гравитационных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь также является неизвестной функцией и требует определения.

Во второй главе рассматривается классическая задача о стационарных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Выбранный метод решения родственен второму методу Стокса, но имеет следующие существенные отличия:

- удалось получить одномерное интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности жидкости конечной глубины,

- решение исходной нелинейной двумерной краевой задачи сведено к решению системы двух одномерных квадратичных уравнений,

- решение поставленной задачи получено с точностью до седьмого приближения; этот результат перекрывает те, которые получены ранее.

В первом параграфе дана физическая и математическая постановка задачи. Пусть на свободной поверхности идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной глубины сформировалась система стационарных нелинейных волн, движущихся с постоянной скоростью . Предполагается, что волновые движения являются двумерными и потенциальными. Рассмотрения ведутся в системе координат, перемещающейся вместе с волной. Следуя второму методу Стокса область течения с помощью комплексного потенциала скорости конформно отображается на полосу (в случае жидкости конечной глубины) или полуплоскость (в случае бесконечной глубины); в случае жидкости конечной глубины образом этого отображения будет полоса 0<<d, где – относительная функция тока, d = Q/c – динамическая глубина жидкости, Q – расход через вертикаль. Уравнения движения и граничные условия записываются для координат частиц жидкости, параметрически зависящих от потенциала скорости и относительной функции тока. Они удовлетворяют уравнению Лапласа и нелинейным граничным условиям на свободной поверхности и на дне; запись динамического граничного условия на сводной поверхности использует интеграл Бернулли-Коши. Отмечена роль условия нулевого среднего для профиля волны, которое обычно не формулируется, но неявно используется.





Во втором параграфе приводится решение задачи в линейном приближении; в дальнейшем на этом решении основан выбор степенных рядов, которые используются для решения нелинейной задачи методами теории возмущений.

В третьем параграфе дан вывод следующего интегро-дифференциального уравнения с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны и ее характеристик:

Здесь – скорость волны, – константа интегрирования, – ускорение свободного падения, - значение относительного потенциала скорости частиц жидкости на свободной поверхности, – горизонтальная декартова координата. Решение этого уравнения дает выражение для профиля стационарной волны в виде следующей параметрической зависимости:

Этот результат представляет самостоятельный интерес и упрощает решение задачи.

В четвертом параграфе дается новая математическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на поверхности жидкости. Она основана на уравнении для профиля волны. Кроме того, вводится новая функция (ее физический смысл: это есть значение обратного квадрата скорости на поверхности жидкости). С ее помощью получается система двух одномерных квадратичных уравнений. Решение этой системы позволяет определить профиль стационарной волны и нелинейное дисперсионное соотношение. Новая математическая постановка задачи такая:

Задача. Определить константы c, P и функции =(), W=W(), удовлетворяющие следующим уравнениям для профиля стационарной волны и ее характеристик:

а также условиям периодичности и нулевого среднего:

здесь – волновое число.

Таким образом, решение исходной нелинейной двумерной краевой задачи сводится к решению системы двух одномерных квадратичных уравнений.

В пятом параграфе приводятся исходные представления для профиля волны и вспомогательной функции в виде тригонометрических многочленов седьмой степени:

Условия периодичности и нулевого среднего выполняются автоматически.

Подстановка тригонометрических многочленов в систему квадратичных уравнений дает систему алгебраических уравнений для их коэффициентов.

В шестом параграфе даны выражения для скорости волны, константы интегрирования и коэффициентов тригонометрических многочленов в виде степенных рядов по степеням амплитуды основной гармоники в профиле волны с точностью до членов седьмого порядка малости, получены и решены системы уравнений для последовательных приближений. В частности, получено следующее выражение для нелинейного дисперсионного соотношения:

В седьмом параграфе дан анализ решений систем уравнений для последовательных приближений.

В третьей главе исследуется задача о стационарных волнах на горизонтальном сдвиговом течении идеальной однородной жидкости конечной глубины. Метод ее решения близок первому методу Стокса решения аналогичной задачи в отсутствии сдвигового течения, но имеет следующее отличие: благодаря введению вспомогательных функций и использованию специального линейного оператора исходная нелинейная двумерная краевая задача сводится к системе одномерных квадратичных уравнений, число которых определяется точностью выбранного приближения.

В первом параграфе дана физическая постановка задачи: пусть на свободной поверхности идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной глубины сформировалась система стационарных нелинейных волн, движущихся с постоянной скоростью . Ставится цель в рамках эйлерова подхода изучить случай двумерных волновых движений жидкости конечной глубины и линейного профиля средней скорости. При выполнении второго условия становится возможным, как и в отсутствие среднего течения (то есть в задаче Стокса), существование безвихревых волновых движений.

Для математической постановки задачи требуется предварительный анализ. С этой целью во втором параграфе уравнения идеальной жидкости и граничные условия преобразуются в уравнения и граничные условия для стационарных волн на сдвиговом течении. Для решения рассматриваемой задачи удобно гидродинамические характеристики выразить через функцию тока волновых движений , которая определяется равенствами

где – горизонтальная и вертикальная составляющие скорости. Тогда уравнение несжимаемости удовлетворяется автоматически, а условие потенциальности волнового движения сводится к уравнению Лапласа.

которое заменяет уравнения Эйлера. Его нужно дополнить граничными условиями, выраженными через . Это можно сделать, если воспользоваться первыми интегралами. Их вывод дается в следующем параграфе.

В третьем параграфе приведены первые интегралы рассматриваемой задачи. Предлагаемая методика решения задачи о стационарных волнах на сдвиговом течении использует два таких интеграла: постоянство функции тока на свободной поверхности в системе координат, движущейся вместе с стационарной волной, и обобщение интеграла Бернулли – Коши, который имеет следующий вид:

= ;

здесь - вертикальный градиент среднего течения.

Благодаря обобщенному интегралу Бернулли – Коши динамическое условие на свободной поверхности записывается в такой форме:



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:










 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.