авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:     | 1 || 3 |

Структура пространства параметров нелинейных осцилляторов при квазипериодическом воздействии

-- [ Страница 2 ] --

Таким образом, при иррациональном соотношении частот динамика нелинейного осциллятора инвариантна по отношению к начальным фазам воздействия. Как следствие инвариантности динамики системы к начальным фазам воздействия в динамике такой системы отсутствует мультистабильность, а плоскость параметров воздействия симметрична относительно осей координат. Характерным для пространства управляющих параметров нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии является существование набора пар терминальных точек TDT, на которые опираются линии удвоения тора, рождения странного нехаотического аттрактора и перехода к хаосу. Задание рационального соотношения частот воздействия приводит к нарушению инвариантности по отношению начальным фазам воздействия и формированию мультистабильности.

Во второй главе приводятся результаты исследований дискретных и дифференциальной моделей экспериментальных систем при различных соотношениях частот. В качестве дискретных моделей использовались квадратичное отображение с дополнительным воздействием в виде

(1)

и мультимодальное отображение, в которое аналогично системе (1) добавлено дополнительное воздействие:

, (2)

здесь x – динамическая переменная, – управляющий параметр, – амплитуда дополнительного воздействия, – частота дополнительного воздействия. В качестве дифференциальной модели использовалось уравнение Тода с бигармоническим воздействием:

(3)

где x – динамическая переменная, – параметр диссипации, и – амплитуды парциальных воздействий, и – их частоты, соответственно.

 Карты динамических режимов (а,в,г) и-31 Рис.3. Карты динамических режимов (а,в,г) и ляпуновского (б) показателя модели (1) при: а) , б) , в) , г) .

Известно, что движению на странном нехаотическом аттракторе соответствуют колебания с так называемым сингулярно–непрерывным спектром. В работе М. Закса [Zaks M.A. Physica. 2001. Vol. D149. p.237] была предложена мера в виде , где – автокорреляционная функция, – время, – время задержки. Было показано, что наклон зависимости , характеризующий скорость спадания автокорреляционной функции, для колебаний с сингулярно–непрерывным спектром оказывается промежуточным между аналогичными для колебаний с дискретным и сплошным спектрами. Последнее позволяет использовать данную меру для идентификации различных режимов колебаний. Следует отметить, что нет строго доказанных оценок скорости спадания автокорреляционной функции для колебаний с сингулярно–непрерывным спектром (в том числе и соответствующих движению на странном нехаотическом аттракторе). Выход из данной ситуации может быть найден на основе использования уже известных результатов. Для этого данный подход был протестирован на уже хорошо изученной модели (1), а затем апробирован на моделях (2) и (3).

 Рис. 4 Карты динамических режимов-41 Рис. 4 Карты динамических режимов уравнения Тода при квазипериодическом воздействии с выделенными фрагментами при : а) , б).




На рис.3а,в,г представлена структура плоскости параметров (, ), построенная на основе оценке угла наклона для различных иррациональных значений параметра . Сплошными обозначены линии удвоения тора, крестиками – терминальные точки, белая область (на рисунке отмечена D) соответствует убеганию системы на бесконечность, различными тонами серого отмечены области существования гладких торов, странного нехаотического и хаотического аттракторов (наиболее темные). Для оценки угла наклона использовался массив данных в 20000 значений. Рис.3а построен для значения параметра , равному «золотому среднему». Для качественного сравнения на рис.3б представлены области, соответствующие движениям с положительными и отрицательными значениями ляпуновского показателя. Сопоставление показывает, что области существования гладких торов и странного нехаотического аттрактора на рис.3а совпадают с областью существования движений с отрицательным ляпуновским показателем на рис.3б. Сравнение рис.3а с аналогичным построенным на основе метода фазовой чувствительности [Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Фойдель У. Странный нехаотический аттрактор. В кн. «Нелинейные волны – 2004», Наука. 2004.] указывает на их хорошее соответствие. Таким образом, предложенный метод позволяет одновременно идентифицировать колебательные режимы и проводить анализ структуры пространства параметров.

Задание других иррациональных значений параметра (рис.3в,г) качественно не меняет структуру плоскости параметров, изменяются лишь граница существования области притягивающих множеств и несколько смещаются линии удвоений торов.

Рис. 5. Структура плоскости управляющих параметров , фазовые портреты и их стробоскопические сечения модели (1) при .  На рис.4 для различных соотношений-51

На рис.4 для различных соотношений частот воздействия представлена плоскость параметров и ее выделенные фрагменты модели (3). Система обозначений аналогична рис.3. Значения частот воздействия и параметра диссипации выбраны такими, что при увеличении каждого из парциальных воздействий система демонстрирует последовательность бифуркаций удвоения периода, завершающуюся переходом к хаосу. Переход к хаосу в модели происходит через рождение странного нехаотического аттрактора. На плоскости имеют место набор терминальных точек, на которые опираются линии удвоения торов, перехода к СНА и хаосу, и сборка, линии складок которой (на рис.4 выделены жирным) сходятся в точке A. В целом плоскость параметров качественно напоминает аналогичную, представленную на рис.1б, при этом наблюдаемые отличия проявляются в количестве терминальных точек и конфигурации границ областей существования регулярных и хаотических аттракторов.

В целом, результаты численных исследования дискретных и дифференциальной моделей позволяют утверждать, что предложенный метод для систем с квазипериодическим воздействием позволяет качественно построить на плоскости параметров области существования гладких торов, странного нехаотического и хаотического аттракторов. В силу отсутствия строгих аналитических выводов, говорить об области существования СНА можно лишь, предполагая apriori, что данный режим имеет место в исследуемой системе.

Задание рационального приводит к нарушению инвариантности динамики системы по отношению к начальным фазам воздействия. Рис.5 иллюстрирует структуру плоскости параметров , фазовые портреты и их стробоскопические сечения, модели (1) при . Задание рационального приводит к тому, что в поведении системы имеют место мультистабильные состояния. Плоскость управляющих параметров имеет многолистную структуру с образованием множества сборок. С приближением параметра к иррациональному значению количество мультистабильных состояний увеличивается, структура плоскости параметров становится все более и более сложной.

В третьей главе экспериментально и численно исследовалась система двух нелинейных осцилляторов с диссипативным и реактивным (емкостным) видами связи. В качестве математической модели использовались связанные уравнения Тода.

(4).

Динамика связанной системы при иррациональном соотношении частот воздействия, как и динамика квазипериодически возбуждаемого нелинейного осциллятора, инвариантна по отношению к начальным фазам воздействия. Это приводит к отсутствию мультистабильных состояний в динамике связанной системы и симметрии плоскости параметров внешнего воздействия относительно осей координат.

На рис.6 приведены фрагменты плоскости параметров при различных уровнях диссипативной связи и соотношении частот воздействия, равном . Белым цветом и различными тонами серого цвета обозначены области существования гладких торов, странных нехаотических аттракторов (СНА), хаоса и гиперхаоса, тонкие линии соответствуют мягким переходам, крестиками обозначены терминальные точки TDT, и – критические значения амплитуд воздействия, соответствующие переходу к хаосу в первом и втором осцилляторах. Анализ плоскости удобно начать с предельного случая нулевой связи (рис.6а), когда . Она напоминает шахматную доску, размеры клеток которой будут уменьшаться с приближением к критическим значениям параметров и . Области хаоса имеют место, когда только один из параметров превышает критическое значение, в случае имеет место область существования гиперхаоса. Следует отметить, что области существования хаоса и гиперхаоса не являются сплошными, в них имеют место так называемые «окна прозрачности» регулярных режимов, что обусловлено индивидуальной динамикой парциальных систем.

Рис.6. Изменение структуры пространства параметров внешнего воздействия при различных уровнях диссипативной связи: а) , б) , в) .

Рис. 6б получен при слабой резистивной связи (). Взаимодействие осцилляторов приводит к тому, что последовательность бифуркаций удвоения тора становится конечной, а переход к хаосу происходит через рождение странного нехаотического аттрактора. Разрушаются области существования многообходных торов, границы областей существования гладких торов искривляются, появляются терминальные точки TDT и области существования странного нехаотического аттрактора, в тоже время, сохраняются некоторые черты, присущие рис.6а., однако, выделить в эксперименте области существования гиперхаоса уже не удается. Качественно стробоскопические сечения проекций фазовых портретов напоминают аналогичные для нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии. Так, при движении вдоль линии AB (см. рис.6б) гладкому тору соответствует гладкая замкнутая кривая. С последовательным увеличением внешнего воздействия после удвоений тора наблюдаются две, а затем четыре замкнутые линии (двух обходной и четырех обходной торы, соответственно). При дальнейшем увеличение параметра наблюдается переход к странному нехаотическому аттрактору, сопровождающийся появлением на сечении изломов, что указывает на потерю гладкости и формирование локальной неустойчивости. С дальнейшим увеличением управляющих параметров происходит переход к хаосу и формируется четырехленточный (в стробоскопическом сечении) хаотический аттрактор. Дальнейшее увеличение параметра приводит к развитию хаоса, связанное с последовательным слиянием лент аттрактора и формированием односвязного хаотического аттрактора (точка B на рис.6б).

На рис.6в представлена структура плоскости параметров уже при сравнительно сильной связи (). Уменьшение приводит к увеличению уровня диссипации в каждом из контуров, и поэтому бифуркационные и критические значения управляющих параметров увеличиваются. Границы областей существования различных режимов колебаний сильно искривляются, линии удвоения торов начинаются и заканчиваются в терминальных точках TDT.

В случае реактивной связи, в динамике экспериментальной системы наблюдается рождение трехмерного тора. В областях существования трехмерного тора наблюдаются резонанс последующим переходом к двумерному тору, разрушение резонансного двумерного тора и переход к хаосу. Однако выявить детали этого перехода в эксперименте не представляется возможным из–за наличия шумов.

а) б) Рис.6. Области существования различных режимов колебаний при слабой связи и (а) и зависимость спектра ляпуновских показателей от амплитуды воздействия (б) модели.






Pages:     | 1 || 3 |
 

Похожие работы:








 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.