авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 | 3 |

.04.02 –

-- [ Страница 1 ] --

..

.04.02 – « »

-2011

__________________________________________________________________

НАЦИОНАЛЬНАЯ НАУЧНАЯ ЛАБОРАТОРИЯ ИМЕНИ А.И. АЛИХАНЯНА

Измаилян Николай Шагенович

УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ И ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА В ДВУХМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук специальности 01.04.02 «Теоретическая физика»

ЕРЕВАН 2011

..

. ( , . , )

. ( , . , )

. (, . , )

,

2011 . 20- 14- .. - 024 (-36, . 2)

- :

2011 18-

. . .

Тема диссертации утверждена в Национальной научной лаборатории им. А.И. Алиханяна.

Официальные опоненты: доктор физико-математических наук

Р. Мкртчян (ГНКО ННЛА, г. Ереван, РА)

доктор физико-математических наук

Р. Погосян (ГНКО ННЛА, г. Ереван, РА)

доктор физико-математических наук

Л. Щур (ИТФ им. Ландау, г. Черноголовка, Россия)

Ведущая организация: Лаборатория Теоретической Физики, ОИЯИ, Дубна, Россия.

Защита состоится 20 декабря 2011 г. В 14 часов на заседании специализированного совета ВАК РА 024, действующего в Национальной научной лаборатории имени А.И. Алиханяна (37503ъ, г. Ереван. Ул. Братьев Алиханян 2)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНКО ННЛА.

Автореферат разослан 18 ноября 2011 г.

Ученый секретарь спец. совета

Доктор физико-математических наук Газазян Э. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Краеугольным камнем в изучении фазовых переходов является принцип универсальности. Этим объясняется то, что целые группы систем ведут себя идентично вблизи критической точки, например, у критической точки перехода жидкости в газ в жидкостях или у точки Кюри в магнитах, где две фазы становятся неразличимими. Критическая точка или точка Кюри, это та темпетатура, при которой ферромагнит становится парамагнитом (его намагниченность падает до нуля). Вблизи критической точки термодинамические величины и критические экспоненты, характеризирующие переход, не зависят от деталей межмолекулярных взаимодействий. Вместо этого, эти величины находятся в заисимости от симметрии гамильтониана, области взаимодействия и размерности пространства системы. Экспериментальные данные, анализ и симуляция моделей фазовых переходов, а также теория реонорм-групп (РГ) позволяют классифицировать критические системы по универсальности таким образом, чтобы у систем, входящих в одну и ту же группу, был одинаковый набор критических экспонентов. На основе теории РГ было также предложено, что системы, входящие в ту же группу универсальности, могли бы иметь универсальные функции скейлинга конечного размера и универсальные отношения амплитуд. Аналитические и численные расчёты для критических систем поддерживают идею универсальности отношений амплитуд.



Понятие универсальности обычно упоминается совместно с гипотезами скейлинга и скейлинга конечных размеров для термодинамических функций, находящихся вблизи критической точки. Теория эффектов конечных размеров и теория скейлинга конечных размеров вообще [1], с успехом применялась в основном для получения критических и некритических свойств безразмерных систем используя свойства их конечных и частично конечных аналогов. С точки зрения атома или молекулы, макроскопическая система такая огромная, что ее часто рассматривают как бесконечно большую систему. Результаты сравнения теории и эксперимента, а также сущесвующих различных теоретических подходов, в общем согласуются в разумных пределах. Однако, уже давно существуют трудности в согласовании скейлинга в ряде важных моделей. Некоторые из этих трудностей едва различимы. Например, есть маленькое, но существенное различие между экспериментальными и теоретическими значениями критических экспонент и отношений амплитуд для -перехода супержидкости в жидком гелии, который относится к классу трехмерной XY универсальности. По ныне существующей наиболее точной теоретической оценке (полученной в [2] с помощью анализа скейлинга конечного размера в Монте-Карло моделировании и высокотемпературного разложения) критической экспоненты в системах, описываемых классом трехмерной XY универсальности, предсказывается, что экспонента удельной теплоемкости =-0.0151(3); это значение несовместимо с ныне принятым экспериментальным значением =-0.01285(3) (измеренный на космическом челноке, с помощью эксперимента по теории микрогравитационного скейлинга [3]). Убедительное объяснение такому расхождению еще не найдено. Еще одним примером яляется то, что в замкнутой геометрии с характерной длиной L, для удельной теплоемкости C(t,L) существует предсказание, исходящее из скейлинга конечного размера [4], однако, до сих пор, есть несоответствие между этим предсказанием и реальными экспериментами, проведенными в супержидкости гелия [5,6]. Важность такого несоответствия так велика, что стало обоснованием проведения безумно дорогого космического эксперимента с целью минимизации искажающего влияния гравитации Земли, и в тоже время стало обоснованием планирования дальнейших экспериментов [7,8]. Если в любом из планируемых экспериментов развалится теория о явлениях, связанных с критической точкой, то это стало бы фундаментальной проблемой в теоретической физике конденсированных сред и не только. Однако, вместо проблем с любым экспериментальным подходом, или же развала классификации и универсальности, мы предлагаем возможное объяснение для этих расхождений, которые исходят из учета так-называемых поправок к скейлингу. В экспериментах и в цифровых рассчетах модельных систем, важно учесть эффекты конечного размера. Скейлинговые свойства этих поправок к поведению бесконечных систем играют важную роль в нашем теоретическом понимании критического режима статистических систем.

В течение последних двух десятилетий, изучение эффектов конечного размера значительно продвинулось, а его важность для теории фазовых переходов и критических явлений увеличивалась в нарастающем темпе. В последние годы, эти вопросы были предметом интенсивного изучения для многих групп исслеователей. Был применен широкий набор (спектр) теоретических методов, от метода Монте-Карло, до конформной теории поля.

Данная диссертация посвящена исследованиям с применением аналитических и вычислительных методов, универсальности и свойств конечных размеров в двухмерных критических моделях статистической механики. В последнее время был достигнут большой прогресс по этим моделям, но многие интересные вопросы остались все еще без ответа.

Цель работы:

Целью диссертационной работы является исследование эффектов конечных размеров в двумерных моделях статистической механики. В частности:

  • Исследование асимптотического разложения логарифма статистической суммы в свободных моделях статистической физики: модели Изинга, модели димеров и модели Гаусса.
  • Исследование универсальности отношений амплитуд в ассимтотическом разложении свободной энергии и корреляционной длины в Изинговском универсальном классе.
  • Исследование влияний различных граничных условий на асимтотическое поведение свободной энергии и удельной теплоемкости в модели Изинга и в модели димеров.
  • Исследование точных решений целого ряда моделей статистической механики, в том числе мономер-димер модели на квадратой решетке с цилиндрическими граничными условиями и обобщенной спин-3/2 модели Изинга

Научная новизна данной работы состоит в том, что в ней получены следующие результаты:

  • Впервые получен бесконечный набор универсальных соотношений амплитуд в модели Изинга [И1,И2,И7,И8,И9,И23].
  • Впервые получено точное асимптотическое разложение для свободной энергии, внутренней энергии и удельной теплоемкости в модели Изинга и в модели димеров. [И4,И5,И10,И12,И13,И18,И19,И20,И21].
  • Получены новые тождества связывающие статистические суммы модели димеров на квадратной решетке при различных граничных условиях [И17].
  • Получено точное асимптотическое разложение для сопротивления между двумя наиболее удаленными точками сети сопротивлений [И6].
  • Найдено точное решение для мономер-димер модели определенной на квадратной решетке при цилиндрических граничных условий и для обобщенной спин-3/2 модели Изинга на квадратной и гексагональной решетках [И3,И27,И28].
  • Предложена и точно решена на Манхетеновской решетке модель описывающая эволюцию вируса и иммунной системы [И11].

Научная и практическая ценность

Практическая ценность работы обусловлена актуальностью темы диссертации. Проведенные в работе теоретические исследования и разработанные методы могут быть непосредственно использованы при планировании экспериментов в различных областях физики, таких как статистическая физика, физика твердого тела, нанофизика, биофизика, физика полимеров и т. д.

Основные положения выносимые на зашиту:

  • Исследование универсальности отношений амплитуд в ассимтотическом разложении свободной энергии и корреляционной длины в Изинговском универсальном классе.
  • Вычисление конечних поправок в модели Изинга. Получение точного асимптотического разложения для свободной энергии и удельной теплоемкости для модели Изинга на прямоугольной решетке при различных граничных условиях, таких как, периодические, спиральные и Браскамп-Кунц граничные условия.
  • Вычисление конечних поправок в модели димеров. Получение точного асимптотического разложения для свободной энергии для модели димеров на прямоугольной решетке при различных граничных условиях, таких как, свободные, периодические, цилиндрические, лист Мебиуса и бутылки Клейна.
  • Получение новых тождеств связывающих статистические суммы модели димеров на квадратной решетке при различных граничных условиях.
  • Проведено также вычисление конечних поправок в модели резисторов и получено точное асимптотическое разложение для сопротивления между двумя наиболее удаленными точками сети сопротивлений.
  • Исследование геометрии, термодинамики и конечних поправок в критических моделях Потса.
  • Также получено точные решения для целого ряда моделей статистической механики, в том числе мономер-димер модели на квадратой решетке с цилиндрическими граничными условиями и обобщенной спин-3/2 модели Изинга.

Апробация работы.

Материалы диссертации были представлены и докладывались на международных конференциях:

  • XXth IUPAP International Conference on Statistical Physics, Paris, France, 1998.
  • 8th Asia Pacific Physics Conference, Taipei, Taiwan, 2000.
  • First International Conference on Chaos and Supercomputers, Nor-Amberd, Armenia, 2000.
  • International Conference on Theoretical Physics, TH2002, 22-27 July 2002, Paris, France, 2002.
  • 6th Taiwan International Symposium on Statistical Physics, Taipei, Taiwan, 2002.
  • International Conference on Statistical Physics and Dynamic Systems: Theory and Applications, Nor-Amberd, Armenia, 2003.
  • 22nd International Conference on Statistical Physics, Bangalore, India, 2004.
  • Taiwan Summer Symposium on Statistical and Nonlinear Physics,Taipei, Taiwan, 2005.
  • Annual Meeting of the Physical Society of the Republic of China (Taiwan), Taiwan, 2004, 2006.
  • 8th Taiwan International Symposium on Statistical Physics, Taipei, Taiwan, 2006.
  • NCTS Workshops on Critical Phenomena and Complex Systems, Taipei, Taiwan, 2000-2011.

Материалы диссертации докладывались также на семинарах Национальной Научной Лаборатории им. А.И. Алиханяна (Ереванский Физический Институт) и Института Физики, Академии Синики, Тайпей, Тайвань.





Публикации.

По теме диссертации опубликовано 25 статей в рецензируемых журналах и 3 тезиза конференций.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения; содержит 277 страниц печатного текста, включая 34 рисунка, таблицу и список литературы из 263 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В Главе 1 нами получены точные значения для набора универсальных отношений амплитуд для двухмерной (2D) модели Изинга на решетке N , и одномерной (1D) квантовой модели Изинга, которая является квантовой версией классической 2D модели Изинга, при различных граничных условиях.

Обозначим свободную энергию на спин и обратную корреляционную длину модели Изинга на решетке N как f(N) и -1(N), соответственно, где f(N) f(), при N.

В параграфе 1.1, получены аналитические уравнения для коеффициентов ak и bk в асимптотическом разложении для свободной энергии и обратной корреляционной длине

для квадратной, шестиугольной и треугольной решеток, и найдено, что

для всех этих решеток, т.е. отношение амплитуд ak/bk является универсальным. Для того, чтобы проверить, что уравнение (3) по прежнему верно для других моделей в классе универсальности Изинга, мы изучили следующую самую простую модель, а именно, квантовую спиновую модель на одномерной решетке с N узлами с периодическими граничными условиями. Получены похожие разложения для критической энергии основного состояния E0 и для критического энергетического интервала (E1-E0 ) квантовой спиновой цепочки, которые, соответственно, являются квантовыми аналогами свободной энергии и обратной корреляционной длины для модели Изинга, и обнаружено, что отношения амплитуд имеют те же универсальные значения. С физической точки зрения можно понять такой результат, используя пертурбативную конформную теорию поля.

В параграфе 1.2, нами получены точные значения для набора универсальных отношений амплитуд для 1D квантовой модели Изинга, которая является квантовой версией классической 2D модели Изинга, при свободных и антипериодических граничных условиях.

Получены аналитические уравнения для ak и bk в разложениях, представленных уравнениями (1) и (2), и найдены универсальные отношения амплитуд для 1D квантовой модели Изинга с антипериодическим граничным условием

а для свободных граничных условий получено

где B2k – числа Бернулли. Насколько нам известно, никакие прежние РГ аргументы, аналитические или цифровые расчеты не предсказывали существование этого набора универсальных отношений амплитуд.

В параграфе 1.3, представлены точные расчеты для набора универсальных отношений амплитуд для двухмерной (2D) модели Изинга на решетке N со специальными граничными условиями, изученными Браскампом и Кунцом [9]. Ими была рассмотрена решетка с 2 N узлами в направлении x, и M узлами в направлении y. Граничные условия – периодические в направлении x, а в направлении y, спины принимают значение (+1) вдоль верхней границы, и имеют альтернативные (+1 или –1) значения вдоль нижней границы цилиндра. Было показано, что асимптотическое поведение скейлинга конечного размера критической энергии f(M) модели Изинга на бесконечно длинной ленте с границей Браскамп-Кунца, совместимо с предсказанием конформной теории поля для смешанных граничных условий, хотя смешанное граничное условие и граничное условие Браскамп-Кунца разные на одной стороне длинной ленты. Универсальные отношения амплитуд для 2D модели Изинга на решетке N со смешанными граничными условиями имеют следующий вид:

В параграфе 1.4, представлены точные расчеты для набора универсальных отношений амплитуд для модели Изинга с фиксированными (+-) граничными условиями. Получены аналитические уравнения для ak и bk в разложениях, представленных уравнениями (1) и (2), и найдено, что универсальные отношения амплитуд bk/ak имеют следующий вид:

где B2k (1/2) – полином Бернулли. Нами было показано, что такое универсальное поведение точно воспроизводится при конформно-пертурбативном подходе.

В Главе 2, нами исследованы поправки конечного размера в модели Изинга. Мы получили точное асимптотическое разложение для логарифма статистической суммы для модели Изинга при периодических, спиральных и Браскамп-Кунцовских граничных условиях.

В параграфе 2.1, статистическая сумма для всех трех базовых моделей статистической механики (модель Изинга, модель димеров и модель Гаусса) выражена через статистическую сумму со скрученными граничными условиями Z,():

Мы получили: для модели Изинга

для модели димеров

и для модели Гаусса

Далее мы получили все члены точного асимптотического разложения логарифмы от статистической суммы со скрученными граничными условиями Z,(). Наш подход основан на тесной связи между членами асимптотического разложения и так называемого двойного ряда Кронекера.

Здесь S – площадь решетки, =M/N – соотношение геометрических размеров, M и N – число узлов в горизонтальной и вертикальной плоскостях, соответственно. fbulk – свободная энергия системы бесконечного размера, ,() – эллиптическая тета-функция, () – эта-функция Дедекинда, 2p – дифференциальный оператор, и – двойной ряд Кронекера.

Используя точное выражение для статистической суммы и точное разложение логарифмы статистической суммы со скрученными граничными условиями Z,(), мы получили все члены точного асимптотического разложения свободной энергии (f) на торе для модели Изинга, модели димеров и модели Гаусса:

В параграфе 2.2, мы рассмотрели модель Изинга при граничных условиях Браскамп-Кунца [9]. Модель Изинга была точно решена при некоторых граничных условиях. Среди них – специальные граничные условия, рассмотренные Браскампом и Кунцом. Мы вывели все члены точного асимптотического разложения для свободной энергии, внутренней энергии и удельной теплоемкости критической ферромагнитной модели Изинга на M 2 N квадратной решетке с граничными условиями Браскамп-Кунца. Мы определили, что значения конечно-размерных поправок к свободной энергии и удельной теплоемкости являются целыми степенями N-1 (M-1), кроме, разумеется, ведущего логарифмического члена в удельной теплоемкости.

При N получено разложение в ряд свободной энергии для бесконечно длинной ленты с граничными условиями Браскамп-Кунца. Полученные нами результаты совместимы с предсказанием конформной теории поля для смешанных граничных условий, сделанным Cardy, хотя определения граничных условий в этих двух случаях разные на одной стороне длинной ленты.



Pages:   || 2 | 3 |
 

Похожие работы:









 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.